1. Le leggi di Keplero

1. 1. Le leggi di Keplero • Fino al 1600 si credeva che: • la Terra fosse al centro dell'Universo, con il Sole e i pianeti orbitanti attorno (modello geocentrico); • i corpi celesti, sferici e perfetti, orbitassero su traiettorie circolari. Copernico introdusse il modello eliocentrico (Sole al centro e pianeti su orbite circolari), che fu poi appoggiato da Galileo. Questo modello però non concordava con le osservazioni astronomiche.

2. Le leggi di Keplero • Giovanni Keplero (1571-1630) perfezionò il modello eliocentrico con tre leggi: Prima legge di Keplero Le orbite dei pianeti sono ellissi di cui il Sole occupa uno dei due fuochi. Si definiscono: • - perielio: il punto dell'orbita • più vicino al Sole. • - afelio: il punto dell'orbita • più lontano dal Sole.

3. Le leggi di Keplero Seconda legge di Keplero Il raggio vettore che va dal Sole a un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali.

4. Le leggi di Keplero Terza legge di Keplero Il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dell'orbita a ed il quadrato del periodo di rivoluzioneT è lo stesso per tutti i pianeti. T aumenta al crescere di a: i pianeti lontani impiegano più tempo a compiere un giro attorno al Sole.

5. 2. La gravitazione universale Le leggi di Keplero descrivono il moto dei pianeti ma non ne spiegano le cause. Isaac Newton intuì che la forza che fa orbitare i pianeti attorno al Sole è la stessa che fa cadere i corpi verso la Terra. Questa forza è universale e vale per qualsiasi coppia di oggetti.

6. La gravitazione universale La legge di gravitazione universaleafferma chela forza che si esercita tra due corpi puntiformi di masse m1 e m2 è: • direttamente proporzionale alle masse dei corpi; • inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza r.

7. La gravitazione universale L'espressione matematica dellalegge di gravitazione universale è: G è la costante di gravitazione universale:

8. La gravitazione universale Vediamo le dipendenze di F da r e da m. 1) Tenendo fissa la distanzar tra i due corpi:

9. La gravitazione universale 2) Tenendo fisse le masse dei due corpi m1 e m2: • se r raddoppia, la forza diventa 1/4; • se r triplica, la forza diventa 1/9; • se r si dimezza, la forza quadruplica.

10. La gravitazione universale Il valore della forza F è inversamente proporzionale a r2. Questo significa che: • F diminuisce molto rapidamente al crescere di r; • F aumenta molto velocemente al tendere di r a zero.

11. 3. Il valore della costante G La forza-peso FP di un corpo di massa m è la forza di gravità con cui la Terra attrae m quando è posta vicino alla superficie terrestre. MT , RT: massa e raggio della Terra. Ricaviamo G: Con i valori di MT , RT noti a Newton si ottiene

12. L'esperimento di Cavendish Henry Cavendish nel 1798 misurò per primo in laboratorio il valore di G con la bilancia a torsione. Le masse m1 e m1 del manubrio sono attratte dalle masse più grandi M1 e M2. Dall'angolo di torsione del filo si misura il valore di F. Si ottiene

13. L'accelerazione di gravità sulla superficie della Terra Dalla legge di gravitazione universale, noti MT e RT, si può ricavare il valore di g che abbiamo già incontrato. La quantità in parentesi è una costante e vale:

14. L'accelerazione di gravità sulla superficie della Terra Il valore dell'espressione corrisponde proprio al valore sperimentale di g. Questo permette di ottenere la formula FP = mg come caso particolare della legge di gravitazione, in prossimità della superficie terrestre.

15. 4.Massa inerziale e massa gravitazionale Abbiamo incontrato la grandezza fisica massa di un corpo in due casi distinti: • massa inerziale, mi: indica la resistenza del corpo ad essere accelerato; • massa gravitazionale, mg: indica la capacità di attrarre oggetti ed essere attratto da essi. I dati sperimentali mostrano che le due masse sono direttamente proporzionali.

16. Massa inerziale e massa gravitazionale Se scegliamo il kg come unità di misura per entrambe possiamo considerare: mi = mg, anche se concettualmente sono diverse.

17. 5. Il moto dei satelliti Supponiamo di sparare orizzontalmente un proiettile dalla cima di una montagna (in assenza di aria e a velocità arbitraria).

18. Diversi tipi di orbite L'orbita di un proiettile con v0=7,9x103 m/s è una circonferenza. All'aumentare ancora di v0 la traiettoria diventa un'ellisse; superato un certo valore la traiettoria è un'iperbole: il proiettile si allontana dalla Terra.

19. La velocità dei satelliti in orbita circolare Satellite di massa m in orbita circolare di raggio R con velocità v intorno alla Terra. Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta: R al denominatore: più il satellite è lontano dalla Terra, più è lento.

20. Satelliti geostazionari Sono satelliti che si muovono alla velocità di rotazione terrestre, quindi appaiono fermi rispetto alla Terra.

21. 6. La deduzione delle leggi di Keplero Le tre leggi di Keplero sono conseguenze dei princìpi della dinamica e della legge di gravitazione universale. Prima legge di Keplero: si dimostra che è conseguenza della proporzionalità della F gravitazionale a 1/r2: • le traiettorie possono essere ellissi, parabole o iperboli; • le traiettorie chiuse possibili sono solo ellissi(tra cui le circonferenze).

22. La deduzione delle leggi di Keplero Seconda legge di Keplero: si dimostra che è conseguenza della conservazione del momento angolare. • Al perieliorP è minimo, quindi vP è massima; • all'afeliorA è massimo, quindi vA è minima. poiché L è costante, r e v sono inversamente proporzionali.

23. La deduzione delle leggi di Keplero Terza legge di Keplero: dimostriamola per orbite circolari. Moto circolare uniforme: Essendo , si ha ovvero Poiché la quantità a destra dell'uguale è costante, la terza legge di Keplero è verificata.

24. 7. L'energia potenziale gravitazionale Consideriamo la massa m che si sposta da A a B sotto l'azione di una massa maggiore M. Si dimostra che Quindi l'energia potenziale U è:

25. Scelta dell'energia potenziale che si annulla all'infinito Nella formula di U è conveniente porre k=0. Questo equivale a scegliere come livello zero di U il caso in cui m e M sono a distanza infinita. Si scrive dunque

26. Scelta dell'energia potenziale che si annulla all'infinito Rappresentiamo il grafico della funzione U(r). • U(r) è sempre negativa (potenziale attrattivo). • La dipendenza da 1/r determina: • l'annullarsi di U(r) per r che tende ad infinito; • il tendere all’infinito di U per r che tende a zero.

27. 8. La forza di gravità e la conservazione dell'energia meccanica Lo studio del moto dei pianeti del sistema solare ha confermato la validità della legge di gravitazione universale e dei princìpi della dinamica, anche perché nel vuoto spaziale non esiste attrito.

28. La forza di gravità e la conservazione dell'energia meccanica La legge di conservazione dell'energia in questo caso è valida e dà un'altra spiegazione alla seconda legge di Keplero.

29. La forza di gravità e la conservazione dell'energia meccanica Consideriamo un proiettile vicino ad un pianeta e poniamo U = 0 quando la distanza è infinita. • Se il proiettile percorre un'orbita ellittica, v<vfuga e l'energia totale E=K+U è negativa. • Se il proiettile ha v=vfuga, riesce a liberarsi e l'energia totale E=K+U è zero. • Se il proiettile percorre una traiettoria iperbolica, v>vfuga e l'energia totale E=K+U è positiva.