Teoria estymacji

1. dr hab. Dariusz Piwczyński Teoria estymacji

2. Estymacja • to postępowanie statystyczne zmierzające do oszacowania parametrów populacji generalnej (, ) na podstawie statystyk (estymatorów) uzyskanych z populacji próbnej.

3. Estymatory a Parametry POPULACJA GENERALNA Parametry ():  – przeciętna w populacji  – odchylenie standardowe w populacji Estymatory: , Sx,

4. Cechy dobrego estymatora to Nieobciążoność. Estymator nazywamy nieobciążonym, gdy jego wartość oczekiwana jest równa parametrowi populacji generalnej, czyli E(Tn)= . Efektywność. Estymator efektywny, to taki, którego wariancja jest najmniejsza. Zgodność. Estymator nazywamy zgodnym, jeżeli wraz ze wzrostem liczebności próby jego wartość zbliża się do szacowanego parametru.

5. Rodzaje estymacji • punktowa • przedziałowa

6. Estymacja punktowa • polega na uznaniu estymatora z próby losowej, jako wartości parametru. Powyższemu stwierdzeniu towarzyszy dodatkowo podanie błędu oszacowania. • Średni błąd średniej arytmetycznej:

7. Błąd średniej • Jeżeli względny błąd estymatora nie przekracza 7,5%, to można uznać, iż wynik estymacji jest wysoce precyzyjny. Jeśli przyjmuje wartości z przedziału 7,5%-15%, to dopuszczalny, a powyżej – nie jest do przyjęcia.

8. Estymacja przedziałowa • polega na wyznaczeniu przedziału liczbowego, który z określonym prawdopodobieństwem zawiera szacowany parametr. Końce przedziału zależą od wartości estymatora.

9. Przedział ufności • to losowy przedział, który z określonym prawdopodobieństwem określa wartość parametru. To inaczej przedział liczbowy, w którym znajduje się prawdziwa, lecz nieznana wartość parametru . • Przedział (g1,g2) jest przedziałem ufności parametru , określonym na poziomie ufności 1-, jeżeli prawdopodobieństwo, że  leży w tym przedziale jest równe 1-.

10. Poziom ufności • 1 –  jest prawdopodobieństwem, że  leży w przedziale (g1,g2). • Jeżeli  = 0,05, to 1-  =0,95 oznacza to, że średnio na każde 100 przedziałów ustalonych na 100 prób losowych, w 95 przypadkach prawdziwa wartość parametru  znajduje się wewnątrz przedziału, natomiast w 5 przypadkach znajduje się poza przedziałem.

11. Przedział ufności dla średniej • Stosowany wtedy, gdy mamy do czynienia z rozkładem normalnym (N(, )),  jest znane. • u- wartość zmiennej standaryzowanej U (U=(X-)/) o normalnym rozkładzie

12. Wartości krytyczne • Wartości krytyczne są to takie wartości danej statystyki u, że prawdopodobieństwo, iż zmienna losowa przyjmie wartość większą od u lub mniejszą od u wynosi .

13. Wartości krytyczne rozkładu normalnego

14. Przedział ufności dla średniej • Stosowany wtedy, gdy mamy do czynienia z rozkładem normalnym lub innym,  jest nieznane, próba duża > 30. • u- wartość zmiennej standaryzowanej U (U=(X-)/) o normalnym rozkładzie

15. Przykład Kontrolowano masę ciała 115 ślimaków winniczków. Średnia masa wyniosła 16,165 g, zaś odchylenie standardowe 6,103 g. Oszacuj 95% przedział ufności dla tej cechy. Nie znamy , nie znamy rozkładui, próba jest duża.

16. Rozwiązanie Oszacowany przedział ufności to: (15,05; 17,28).

17. Przedział ufności dla średniej 1 • Stosowany wtedy, gdy mamy do czynienia z rozkładem normalnym, ale nie znamy  i próbie małej, tj. poniżej 30 elementów. • (w mianowniku wzoru na odchylenie standardowe znajduje się „/n”). • t - odczytujemy z tabeli testu t-Studenta dla liczby stopni swobody równej n-1i odpowiedniego poziomu ufności.

18. Rozkład t-Studenta • Załóżmy, że jeżeli z populacji o jakimkolwiek rozkładzie ze średnią  i odchyleniem standardowym  pobieramy próby o dużej liczebności N, to rozkład średnich z tych prób będzie rozkładem normalnym o średniej i odchyleniu

19. Rozkład t-Studenta • Jeżeli z populacji o rozkładzie normalnym pobieramy próby N - elementowe, to dla każdej próby możemy obliczyć statystykę t.

20. Rozkład t-Studenta • Wartości krytyczne są to takie wartości danej statystyki t, że prawdopodobieństwo, iż zmienna losowa przyjmie wartość większą od t lub mniejszą od t wynosi .

21. Wartości krytyczne t

22. Przedział ufności dla średniej • Stosowany wtedy, gdy mamy do czynienia z rozkładem normalnym, ale nie znamy  i próbie tj. poniżej 30 elementów. (w mianowniku wzoru na odchylenie standardowe znajduje się „/n-1”). • t - odczytujemy z tabeli testu t-Studenta dla liczby stopni swobody równej n-1i odpowiedniego poziomu ufności.