III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)

1. III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…) LE PLAN DU COURS : TROIS CHAPITRES I. Bases de logique , théorie des ensembles II. Nombres entiers, rationnels, réels et complexes ; suites de réels

2. III. Fonctions numériques et modélisation • Limite d’une fonction en un point de R ou de la droite réelle achevée • Continuité d’une fonction en un point et sur un ensemble • Opérations sur les fonctions continues • Fonctions strictement monotones sur un intervalle • Dérivabilité d’une fonction sur un intervalle • Quelques fonctions classiques et leurs inverses • Aires, intégration, primitives • Équations différentielles

3. Limite d’une fonction en un point de R ou de la droite réelle achevée Cas 1 D D l R R _ a e D f f admet une limite finiele R au point a si et seulement si, pour toute suite (xn)n de points de D : lim (xn)n = a lim (f(xn))n = l

4. f admet une limite finiel e R au point a Pour tout e >0, il existe h >0 , tel que : (x appartient à D et |x-a| < h) |f(x) – l | < e

5. Le cas particulier où le point a est un point de D • f : D ----> R • a point de D • lima f existe dans R (et vaut nécessairement f(a)) f est continue en a

6. Limite d’une fonction en un point de R ou de la droite réelle achevée Cas 2 D D l R R _ a e D \ D f f tend vers + l’infini au point a si et seulement si, pour toute suite (xn)n de points de D : lim (xn)n = a lim (f(xn))n =+ l’infini

7. f tend vers + l’infini au point a Pour tout A >0, il existe h >0 , tel que : (x appartient à D et |x-a| < h) f(x) > A

8. Limite d’une fonction en un point de R ou de la droite réelle achevée Cas 3 D D l R R _ a e D \ D f f tend vers - l’infini au point a si et seulement si, pour toute suite (xn)n de points de D : lim (xn)n = a lim (f(xn))n =- l’infini

9. f tend vers - l’infini au point a Pour tout A >0, il existe h >0 , tel que : (x appartient à D et |x-a| < h) f(x) < - A

10. Limite d’une fonction en un point de R ou de la droite réelle achevée Cas 4 D _ +infinie D \ D D l R R f f tend vers l lorsque x tend vers + infini si et seulement si, pour toute suite (xn)n de points de D lim (xn)n = +infini lim (f(xn))n =l

11. f admet une limite finiel e R en + l’infini Pour tout e >0, il existe B >0 , tel que : (x appartient à D et x > B) |f(x) – l | < e

12. Limite d’une fonction en un point de R ou de la droite réelle achevée Cas 5 D _ +infinie D \ D D l R R f f tend vers + infini lorsque x tend vers + infini si et seulement si, pour toute suite (xn)n de points de D lim (xn)n = +infini lim (f(xn))n =+ infini

13. f tend vers + l’infini lorsque x tend vers + l’infini Pour tout A >0, il existe B >0 , tel que : (x appartient à D et x > B) f(x) > A

14. f tend vers - l’infini lorsque x tend vers + l’infini Pour tout A >0, il existe B >0 , tel que : (x appartient à D et x > B) f(x) < - A

15. Composition des limites (1) lima (g o f) = L D R E R f g f(D) l E _ a e D _ lima f=le E _ liml g=L e R

16. Composition des limites (2) lima (g o f) = L D R E R f g f(D) l E _ a e D _ lim+infini g=L e R _ lima f=+infini e E

17. Composition des limites (3) Lim+l’infini(g o f) = L D R E R f g f(D) l E _ + infini e D \ D _ lim+infini g=L e R _ lim+ l’infini f=+infini e E

18. Attention aux formes indéterminées ! ? x2 – x ? (log x) /x = (1/x) x log x quand x tend vers + l’infini Lim (a0 xp + a1 x p-1 + … + ap) = + l’infini si a0 > 0 - l’infini si a0 < 0

19. Attention aux formes indéterminées ! ? P(x)/Q(x) ? (P(x))1/k– Q(x), k dans N*, en + l’infini (a0 xp + a1 x p-1 + … + ap)1/k = a01/k xp/k( 1 + (a1/a0) x-1 + … )1/k b0 xq + b1 xq-1 + … + bq = b0 xq (1+ (b1/b0)x-1 + …)

20. Rappel de règles concernant les limites de suites

21. Limite à droite en un point a • a est adhérent à Va+:= {x dans D ; x >a} • La restriction de f à Va+ admet pour limite l au point a

22. Limite à gauche en un point a • a est adhérent à Va-:={x dans D ; x <a} • La restriction de f à Va- admet pour limite l au point a

23. « Une fonction monotone (c’est-à-dire croissante ou décroissante) sur un intervalle ouvert ]a,b[ (borné ou non) admet une limite à gauche et à droite en tout point  de ]a,b[»

24. Fonction continue en un point (rappel) • f : D ----> R • x0 point de D • limx0 f existe dans R (et vaut nécessairement f(x0)) Continuité à droite (si existence de la limite à droite, égale nécessairement à f(x0)) Continuité à gauche (si existence de la limite à gauche, égale nécessairement à f(x0))

25. Fonctions continues sur un segment [a,b] I. Une fonction f continue sur un segment [a,b] (c’est-à-dire en tout point de ce segment) et à valeurs réelles est à la fois minorée et majorée sur [a,b]. II. Les deux bornes inf [a,b] f et sup[a,b] f sont atteintes par f en des points de [a,b]

26. Théorème des valeurs intermédiaires Une fonction f continue sur un segment [a,b] (c’est-à-dire en tout point de ce segment) prend (sur ce segment) au moins une fois toute valeur intermédiaire y du segment [inf[a,b] f , sup[a,b] f] . Preuve par l’absurde !

27. Fonctions strictement monotones et continues sur un intervalle(1) M = sup {f(x), x dans I} I intervalle de R f(I) f(I) intervalle de R (du même type) I m=inf {f(x), x dans I} f : I  f(I) bijective f admet une application inverse f-1 : f(I)  I

28. Fonctions strictement monotones sur un intervalle(2) f-1strictement monotone (même type que f) y f(I) I f continue f-1 continue f-1(y-) c f-1(y) c f-1(y+) = =

29. Fonction réciproque d’une fonction strictement monotone f : I  J=f(I) [(x e I) et (y=f(x))] [(y e J) et (x=f-1(y))] Graphe (f) = {(x,y) e I x J ; y =f(x)} Graphe (f-1) = {(y,x) e J x I ; y=f(x)}

30. Droite ‘miroir’ y=x (x0,y0) (y0,x0)

31. Dérivabilité en un point et sur un intervalle • f définie dans un intervalle ouvert contenant un point donné x0 • f(x0+h) = f(x0) + a(x0) h + he(h) pour tout h de valeur absolue assez petite • e défini dans un intervalle ]-h,h[ (privé de 0) et lim0e = 0

32. Interprétation géométrique (x0+h, f(x0+h)) (x0, f(x0)) y=a(x0)(x-x0)+ f(x0)

33. Dérivabilité en un point Continuité en ce point Isaac Newton (1643-1727)

34. Opérations sur les fonctions dérivables f et g dérivables en x0 f+ g dérivable en x0 , (f+g)’(x0)= f’(x0)+g’(x0) fg dérivable en x0 , (fg)’(x0)= f’(x0) g(x0)+g’(x0) f(x0)

35. Dérivabilité de x  xn n > 0 (x0+h)n = x0n + n x0n-1 h + o(h) n > 0 et x0 non nul (x0+h)-n = x0-n-n x0n-1 h + o(h)

36. Règle de Leibniz G.W. von Leibniz (1646-1716) f définie au voisinage de x0 et dérivable en x0 g définie au voisinage de f(x0) et dérivable en f(x0) (gof)’(x0) g o f dérivable en x0 car : (g o f) (x0+h) = g (f(x0+h)) = g (f(x0) + h f’(x0) + o(h)) = g(f(x0)) + h g’(f(x0)) xf’(x0) + o(h)

37. Opérations sur les fonctions dérivables f et g dérivables en x0 et g(x0) non nul f/g dérivable en x0 et f’(x0) g(x0) - g’(x0) f(x0) (f/g)’(x0) = ______________________ (g(x0))2

38. Dérivabilité de la fonction inverse Soit f une fonction strictement monotone sur un intervalle ouvert I de R, dérivable sur I On suppose f’ R 0 sur I (f’>0 ou f’<0) f-1 : f(I)  I est dérivable sur f(I) 1 (f-1)’(y0) = -------------- f’ ( f-1 (y0))

39. y= y0 + f’(x0) (x-x0) (x0,y0) x= y0 + f’(x0) (y-x0) (y0,x0)

40. Remarque : un énoncé admis Une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I , de dérivée identiquement nulle sur I , est constante sur I. Attention cependant Aux escaliers du diable !

41. La fonction exponentielle lim (ex/xn) = + l’infini en +l’infini x k S k=n exp (x) ---> k ! k=0 lim (ex xn) = 0 en - l’infini exp (x1+x2) = exp (x1) x exp (x2)

42. La méthode d’Euler exp ’ = exp Étape 0 : Choix d’un « pas » : 1/N (entre 0 et x) u0 = 1 Dérivée « discrète » un+1-un = un 1/N (1+ x/N)N ---> exp (x) lorsque N tend vers + l’infini

43. La fonction logarithme (1) x e R et y = exp (x) y > 0 et x = log (y) lim+infini (log y /y) =0 lim0 (|y| log |y|) =0 log (y1 y2) = log (y1) + log (y2)

44. La fonction logarithme (2) • log’ = [ y ---> 1/y] sur { y ; y > 0 } • (log |y-a|)’ = [y ---> 1/(y-a)] sur R \ {a} Remarque : pour tout entier n de Z différent de -1, on a sur R \{a} : (y-a)n+1 []’ =[ y ---> (y-a)n] n+1

45. Les fonctions puissance a > 0 x e R  ax := exp (x log a) • (ax1) x2 = a x1x2 • ax1+x2 =ax1x ax2 • (ab)x = axx bx • a-x = (1/a)x [ x  ax]’ = [x  log(a) x ax]

46. La fonction cosinus x e R x 2k S k=n cos (x) ---> (-1)k (2k) ! k=0 cos 0 = 1 cos 2 <-1/3 (suites adjacentes) cos s’annule en au moins un point de [0,2] p := 2 inf{x>0, cos x=0}

47. La fonction sinus x e R x 2k+1 S k=n sin (x) ---> (-1)k (2k+1) ! k=0 (suites adjacentes)

48. Relations entre fonctions trigonométriques • cos (x1 + x2) = cos (x1) cos (x2) – sin (x1) sin (x2) • sin (x1+ x2) = cos (x1) sin (x2) + sin (x1) cos (x2) • cos’ = - sin • sin’ = cos • cos2 x + sin2 x =1 • cos (x+ 2p)=cos x • sin (x+2p) = sin x (0,0) 1 (cos (x), sin (x)) ( pourx e [0, 2p[) paramétrage bijectif du cercle de centre (0,0) et de rayon 1

49. Fonctions trigonométriques inverses • Arcos : [-1,1] --- > [0, p] • Arcsin : [-1,1] --- > [-p/2 , p/2] • sur ]-1,1[ Arcsin’ = 1/(cos(Arcsin)) = [y  (1-y2)-1/2] • sur ]-1,1[ Arcos’ = -1/(sin(Arcos)) = [y  - (1-y2)-1/2] Arcsin (y) + Arcos (y) = p/2 pour y e [-1,1]

50. La fonction tangente tan x := sin (x) / cos (x) -3p/2 -p -p/2 0 p/2 p 3p/2 tan’ = 1 + tan2