BAB VIII RUANG HASILKALI DALAM

1. BAB VIII RUANG HASILKALI DALAM

2. 8.2 Sudut dan Ortogonalitas di dalam Ruang Hasilkali Dalam 8.2.1 Ketidaksamaan Cauchy-Schwarz Jika u dan v adalah vektor-vektor tak-nol di dalam R2 atau R3 dan  adlah sudut diantara keduanya, maka atau u . v =<u, v>, sehingga Karena |cos |  1, maka

3. Teorema 8.2.1 Ketidaksamaan Cauchy-Scwarz Jika u dan v adalah vektor-vektor di dalam sebuah ruang hasilkali dalam real, maka |<u . v>| ||u|| ||v|| <u, v>2  <u, u><v , v> <u, v>2  ||u||2 ||v||2

4. Teorema 8.2.2 Sifat-sifat Panjang Jika u dan v adalah vektor-vektor di dalam sebuah ruang hasilkali dalam V, dan jika k adalah skalar sembarang, maka: (a) ||u||  0 (b) ||u|| = 0 jika dan hanya jika u = 0 (c) ||ku|| = |k| ||u|| (d) ||u + v||  ||u|| + ||v|| (Ketidaksamaan segitiga)

5. Teorema 8.2.3 Sifat-sifat Jarak Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor di dalam sebuah ruang hasilkali dalam V, dan jika k adalah skalar sembarang, maka: (a)d(u, v)  0 (b) d(u, v) = 0 jika dan hanya jika u = v (c)d(u, v) = d(v, u)  0 d(u, v)  d(u,w) +d(w, v) (Ketidaksamaan segitiga)

6. 8.2.2 Sudut di antara dua vektor Misal u dan v adalah vektor-vektor tak-nol di dalam sebuah ruang hasilkali dalam V. Dari teorema 8.2.1 diketahui bahwa <u, v>2  ||u||2 ||v||2 Jika dibagi dengan ||u||2 ||v||2 , didapat atau ekivalen dengan Jadi dan 0    

7. Contoh 8.1 Cosinus dua sudut diantara dua vektor Misal R4 memiliki hasilkali dalm Euclidean. Tentukan cosinus sudut  diantara vektor-vektor u = (4, 3, 1, –2) dan v = (–2, 1, 2, 3) Penyelesian

8. 8.2.3 Ortogonalitas Permasalahan penting di dalam semua ruang hasilkali dalam adalah menentukan apakah dua buah vektor saling ortogonal, yaitu apakah sudut yang diapit kedua vektor tersebut adalah  = /2 Definisi Dua vektor u dan v di dalam sebuah ruang hasilkali dalam dikatakan ortogonal jika 〈u, v〉 = 0.

9. Contoh 8.2 Vektor-vektor Ortogonal pada M22 Jika M22 memiliki hasilkali dalam, tentukan apakah matriks-matriks u dan v berikut ortogonal atau tidak ortogonal. Penyelesaian 〈U, V〉 = 0 + 0 = 0 Karena tr(UTV) = 0, maka matriks U dan V ortogonal

10. Contoh 8.3 Vektor-vektor Ortogonal pada P2 Misal P2 memiliki hasilkali dalam dan misalkan p = x dan q = x2. Tentukan apakah vektor-vektor p dan q ortogonal relatif terhadap hasilkali dalam yamg diberikan! Penyelesaian

11. Karena 〈p, q〉 = 0, maka vektor p = x dan q = x2 adalah ortogonal relatif terhadap hasilkali dalam yang diberikan.

12. Teorema 8.2.4 Generalisasi Teorema Pythagoras Jika u dan v adlah vektor-vektor ortogonal di dalam sebuah ruang hasilkali dalam, maka ||u + v|| = ||u||2+||v||2 Contoh 8.4 Teorema Pythagoras pada P2 Dari contoh 8.3 telah diketahui bahwa p = x dan q= x2 adalah ortogonal relatif terhadap hasilkali dalam Tentukan||p + q||2

13. Penyelesaian ||p + q||2 = ||p||2+||q||2(Generalisasi Teorema Pythagoras) Dari contoh 8.3 didapat

14. Latihan Tentukan apakah vektor-vektor berikut ortogonal jika mengacu pada hasilkali dalam Euclidean. a) u = (–1, 3, 2); v = (4, 2, –1) b) u = (–4, 6, –10, 1); v = (2, 1, –2, 9) 2. Jika hasilkali dalam M22 adalah〈A, B〉 = tr(ATB)= tr(BTA)