METODE NUMERIK

1. METODE NUMERIK BAB I

2. Pendahuluan Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi, atau pada persoalan rekayasa (engineering), seperti Teknik Sipil, Teknik Mesin, Elektro, dan sebagainya. Seringkali model matematika tersebut muncul dalam bentuk yang tidak ideal alias rumit. Model matematika yang rumit ini adakalanya tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik yang sudah umum untuk mendapatkan solusi sejatinya (exact solution). Yang dimaksud dengan metode analitik adalah metode penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku (lazim).

3. Contoh

5. Metode Analitik vs Metode Numerik • Metode analitik  metode sebenarnya • Dapat memberikan solusi sebenarnya(exact solution) • Solusi yang memiliki galat/error = 0. • Metode analitik hanya unggul pada sejumlah persoalan matematika yang terbatas

6. Metode numerik  teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi hitungan/aritmatika biasa. • Solusi angka yang didapatkan dari metode numerik adalah solusi yang mendekati nilai sebenarnya/ solusi pendekatan(approximation) dengan tingkat ketelitian yang kita inginkan. • Karena tidak tepat sama dengan solusi sebenarnya, maka ada selisih diantara keduanya yang kemudian disebut galat/error. • Metode numerik dapat menyelesaikan persoalan di dunia nyata yang seringkali non linier, dalam bentuk dan proses yang sulit diselesaikan dengan metode analitik

7. Mengapa menggunakanMetode Numerik ? • Tidak semua permasalahan matematis atau perhitungan dapat diselesaikan dengan mudah. contoh : • Dibutuhkan metode yang menggunakan analisis-analisis pendekatan persoalan2 non linier untuk menghasilkan nilai yang diharapkan. • Kesulitan menggunakan metode analitik untuk mencari solusi exact dengan jumlah data yang besar, diperlukan perhitungan komputer,-metode numerik mjd penting utk menyelesaikan permasalahan ini

8. Pemakaian metode analitik terkadang sulit diterjemahkan ke dalam algoritma yang dapat dimengerti oleh komputer. Metode numerik yang memang berangkat dari pemakaian alat bantu hitung merupakan alternatif yang baik dalam menyelesaian persoalan-persoalan perhitungan yang rumit. • Aplikasi metode numerik: • Semua bidang yang menggunakan model matematika • Tool: matlab, scilab

9. Beberapa kriteria penyelesaian perhitungan matematika • Bila persoalan merupakan persoalan yang sederhana atau ada theorema analisa matematika yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan tersebut, maka penyelesaian matematis(metode analitik) adalah penyelesaian exact yang harus digunakan. Penyelesaian ini menjadi acuan bagi pemakaian metode pendekatan. • Bila persoalan sudah sangat sulit atau tidak mungkin diselesaiakan secara matematis(analitik) karena tidak ada theorema analisa matematik yang dapat digunakan, maka dapat digunakan metode numerik. • Bila persoalan sudah merupakan persoalan yang mempunyai kompleksitas tinggi, sehingga metode numerikpun tidak dapat menyajikan penyelesaian dengan baik, maka dapat digunakan metode-metode simulasi.

10. Prinsip-Prinsip Metode Numerik • Metode numerik ini disajikan dalam bentuk algoritma-algoritma yang dapat dihitung secara cepat dan mudah. • Pendekatan yang digunakan dalam metode numerik merupakan pendekatan analisis matematis, dengan tambahan grafis dan teknik perhitungan yang mudah. • Algoritma pada metode numerik adalah algoritma pendekatan maka dalam algoritma tersebut akan muncul istilah iterasi yaitu pengulangan proses perhitungan. • Dengan metode pendekatan, tentunya setiap nilai hasil perhitungan akan mempunyai nilai error (nilai kesalahan).

11. Tahap-Tahap Memecahkan PersoalanSecara Numerik • Ada enam tahap yang dilakukan dakam pemecahan persoalan dunia nyata dengan metode numerik, yaitu: 1. Pemodelan • Ini adalah tahap pertama. Persoalan dunia nyata dimodelkan ke dalam persamaan matematika

12. 2. Penyederhanaan model • Model matematika yang dihasilkan dari tahap1 mungkin saja terlalu kompleks, yaitu memasukkan banyak peubah(variable) atau parameter. Semakin kompleks model matematikanya, semakin rumit penyelesaiannya. Mungkin beberapa andaian dibuat sehingga beberapa parameter dapat diabaikan. • Contohnya, faktor gesekan udara diabaikan sehingga koefisian gesekan didalam model dapat dibuang. Model matematika yang diperoleh dari penyederhanaan menjadi lebih sederhana sehingga solusinya akan lebih mudah diperoleh.

13. 3. Formulasi numerik Setelah model matematika yang sederhana diperoleh, tahap selanjutnya adalah memformulasikannya secara numerik, antara lain: • Menentukan metode numerik yang akan dipakai bersama-sama dengan analisis galat awal (yaitu taksiran galat, penentuan ukuran langkah, dan sebagainya). Pemilihan metode didasari pada pertimbangan: • apakah metode tersebut teliti? • Apakah metode tersebut mudah diprogram dan waktu pelaksanaannya cepat? • Apakah metode tersebut peka terhadap perubahan data yang cukup kecil? • Menyusun algoritma dari metode numerik yang dipilih.

14. 4. Pemrograman Tahap selanjutnya adalah menerjemahkan algoritma ke dalam program komputer dengan menggunakan salah satu bahasa pemrograman yang dikuasai. 5. Operasional Pada tahap ini, program komputer dijalankan dengan data uji coba sebelum data yang sesungguhnya.

15. 6. Evaluasi Bila program sudah selesai dijalankan dengan data yang sesungguhnya, maka hasil yang diperoleh diinterpretasi. Interpretasi meliputi analisis hasil run dan membandingkannya dengan prinsip dasar dan hasil-hasil empirik untuk menaksir kualitas solusi numerik, dan keputusan untuk menjalankan kembali program untuk memperoleh hasil yang lebih baik.

16. Pemodelan Matematika • Model dibuat untuk memudahkan orang dalam menganalisis suatu permasalahan, disamping untuk menghemat waktu, biaya dan resiko • Bantuan komputer membuat pemodelan menjadi lebih mudah dan nyaman dilakukan. Dari sini lahir simulasi yang menggunakan komputer untuk menirukan hal-hal yang ada di dunia nyata, yang dapat dianalisis, dievaluasi dan didapatkan hasilnya, serta dapat diulangi kapanpun dengan hasil yang sama. • Dng. modelling, permasalahan tsb. dapat dituliskan dlm. bentuk formula matematis. • Manusia perlu jawaban formula matematis tsb., misal : • Bagaimana keadaan cuaca pada hari tertentu, kapan perembesan air laut mencapai titik tertentu pada suatu daratan, bagaimana penyebaran suatu wabah penyakit, bagaimana perilaku badan pesawat jika melewati kawasan yg. buruk, dsb. • Utk. dapat jawaban perlu metoda. • Model sederhana : jawaban eksak/dlm. simbol dapat dicari. • Model rumit : harus dicari jawaban dlm. bentuk numerik (angka) pada titik-titk tertentu dng. metode numerik.

18. Beberapa Model Matematis • Sistem Persamaan Linear (SPL) • Bentuk Umum : • Cari vektor x berukuran N yg. memenuhi : • Ax = b • A : matriks berukuran N X N • b : vektor berukuran N • Contoh : • Cari x yang memenuhi : • x1 + x2 + 0x3 + 4x4 = 3 • 2x1 - x2 + 5x3 + 0x4 = 2 • 5x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = 5 • -3x1 + 0x2 + 2x3 + 6x4 = -2 • Untuk matriks A dng. sifat-sifat tertentu, metode pencarian solusinya berbeda. • Perbedaan ini mempertimbangkan : efisiensi waktu & pemakaian memori.

19. Sistem Persamaan Non-Linear (SPNL) • Bentuk Umum : • Cari x yg. memenuhi : • f1(x1,x2,...,xN) = 0 • f2(x1,x2,...,xN) = 0 • ... = ... • fN(x1,x2,...,xN) = 0 • Contoh : • x2 – x + y2 + z2 – 5 = 0 • x2 + y2 – y + z2 – 4 = 0 • x2 + y2 + z2 + z = 0 • Persamaan Diferensial Parsial (PDP) • Bentuk Umum : • A, B, C : konstan

20. Contoh : • Model penyebaran temperatur steady-state pada bidang segiempat : Uxx(x,y) + Uyy = 0, 0 < x < 1, 0 < y < 1 Syarat batas : x = 0 : u(0,y) = f3(y) ; y = 0 : u(x,0) = f1(x) x = 1 : u(1,y) = f4(y) ; y = 1 : u(x,0) = f2(x) Solusinya diberikan dalam bentuk counter berikut :

21. Sistem persamaan Diferensial Biasa (PDB) • Bentuk Umum : • y’ = f(x,y), y(x0) = y0 • didefinisikan pada interval [x0, xend], y dan f vektor berukuran N (besar sistem). • Contoh : • Model dinamika populasi dan sistem persamaan non-linier : • ; • Nilai awal : untuk • Solusinya diberikan dalam bentuk gambar berikut :

22. PDB ada 2 macam: • PDB Stiff : beberapa komponen jawabannya mempunyai perbedaan nilai absolut yg. besar dibanding komponen lainnya. • PDB non-stiff : komponen solusinya satu dng. yg. lain besarnya tidak terlalu berbeda jauh. • PDB stiff memerlukan metode di mana setiap langkah proses memerlukan jawaban sistem persamaan non-linier. • Pemecahan suatu model bisa menghasilkan model lain, misal : • PDP bisa menjadi PDB • SPNL harus melalui proses SPL

23. ARITMETIKA TITIK MENGAMBANG • Dari uraian sebelumnya kita mendapatkan sedikit gambaran bahwa dalam melakukan perhitungan menggunakan komputer seringkali nilai-nilai yang kita gunakan tidak dapat direpresentasikan secara pasti dan nilai yang dimanipulasi dalam komputer hanyalah nilai hampirannya. • Penyebab utama masalah ini adalah terbatasnya tempat penyimpanan bilangan dalam komputer. • Besarnya perbedaan antara nilai hampiran dan nilai sesungguhnya disebut galat (error).

24. Galat Mutlak & Nisbi

25. Perhitungan ilmiah dalam komputer biasanya dilakukan dalam aritmetika titik mengambang (floating-point). • Suatu bilangan titik-mengambang yang terdiri dari n angka dengan basis  memiliki bentuk, • x =  (0.a1a2a3...an).e • di mana • 0.a1a2a3...an (dalam basis ) disebut mantisa dan • e (bilangan bulat dalam basis ) disebut eksponen. • Bilangan titik-mengambang tersebut dikatakan dinormalkan jika a1 = 0 atau jika a1 = a2 = ... = an = 0 (yakni jika mantisa = 0). Pada kebanyakan komputer  = 2 walaupun ada juga yang menggunakan  = 16, dan pada kebanyakan kalkulator  = 10.

26. Beberapa contoh bilangan berbentuk titik-mengambang adalah : (a) (0.1100110011).2101110011 ( = 2, dinormalkan). (b) (0.027934556).1013 ( = 10, tak dinormalkan). (c) (0.FBAC).16BA ( = 16, dinormalkan). • Ketelitian (precission) atau panjang n bilangan titik-mengambang pada suatu komputer biasanya tergantung dari panjang word komputer tersebut dan berbeda dari satu merek komputer ke merek komputer lainnya. • Komputer yang menerima program dalam bahasa FORTRAN biasanya menyediakan dua jenis ketelitian, yakni ketelitian tunggal (single precision) dan ketelitian ganda (double precision) yang panjangnya kira-kira dua kali lipat dari ketelitian tunggal. • Besarnya eksponen e terbatas dalam selang • m < e < M • untuk nilai m dan M tertentu (tergantung dari merek komputer). Biasanya m = -M. • Terdapat dua cara yang biasanya dilakukan dalam komputer untuk mengubah suatu bilangan real x ke bentuk titik-mengambangnya fl(x) dengan ketelitian n, yakni yang dikenal sebagai pembulatan (rounding) dan pemenggalan (chopping). Pada proses pembulatan, fl(x) ditentukan sebagai bilangan titik-mengambang yang dinormalkan yang terdekat dengan x. Pada proses pemenggalan, fl(x) ditentukan sebagai bilangan titik mengambang dinormalkan yang terdekat antara x dan o.

27. Angka Signifikan Banyaknya digit tertentu yang dapat dipakai dengan meyakinkan. 0,00001845 0,0001845 0,001845 mempunyai 4 angka signifikan 4,53 x 104 mempunyai 3 angka signifikan 4,530 x 104 mempunyai 4 angka signifikan 4,5300 x 104 mempunyai 5 angka signifikan • Banyak angka signifikan  banyaknya digit tertentu yg dpt dipakai dengan meyakinkan • Selain angka signifikan, jg ada angka taksiran • Angka 0 (nol) tdk sll pasti mjd angka signifikan, why? • Ketidakpastian  kepastian, jk pakai notasi ilmiah

28. How? 0,000123  mengandung 3 AS (nol bkn merupakan AS) 0,00123  mengandung 3 AS (nol bkn merupakan AS) 12.300  Tidak jelas berapa AS, karena msh di?kan nol itu berarti atau tidak…! 1,23 x 104  mengandung 3 AS (memakai notasi ilmiah) 1,230 x 104  mengandung 4 AS (memakai notasi ilmiah) 1,2300 x 104  mengandung 5 AS (memakai notasi ilmiah)

29. Dua arti penting angka signifikan “AS akan memberikan kriteria untuk merinci seberapa besar keyakinan kita mengenai hasil pendekatan dalam metode numerik” “AS memberikan pengabaian dari angka signifikan sisa utk besaran-besaran yang spesifik yang tidak bisa dinyatakan secara eksak krn jumlah digit yang terbatas”  (kesalahan pembulatan/round-off-error)

30. Presisi Jumlah angka signifikan yg menyatakan suatu besaran Penyebaran dlm bacaan berulang dari sebuah alat yg mengukur suatu perilaku fisik tertentu Akurasi dan Presisi • Akurasi • Dekatnya sebuah angka pendekatan atau pengukuran thd harga sebenarnya yang hendak dinyatakan • Inakurasi (Tdk akurat) • Simpangan sistematis dari kebenaran Kesalahan  “mewakili dua hal yaitu tidak akurat dan tidak presisi dari ramalan yang dilakukan”