Metode Numerik

1. MetodeNumerik PENDAHULUAN

2. Komputer, Manusia, dan Persoalannya • Membantu manusia menanggulangi persoalan : • Dalam kerja rutin (perkantoran, perbankan, dsb.) • Dalam lingkungan (pencemaran, ramalan cuaca, dsb.) • Dalam industri (sirkuit elektrik, kimia, perminyakan, dsb.) • Dalam sains (pergerakan benda ruang angkasa, dsb.) • Dng. modelling, persoalan tsb. dapat dituliskan dlm. bentuk formula matematis. • Manusia perlu jawaban formula matematis tsb., misal : • Bagaimana keadaan cuaca pada hari tertentu, kapan perembesan air laut mencapai titik tertentu pada suatu daratan, bagaimana penyebaran suatu wabah penyakit, bagaimana perilaku badan pesawat jika melewati kawasan yg. buruk, dsb. • Utk. dapat jawaban perlu metoda. • Model sederhana : jawaban eksak/dlm. simbol dapat dicari. • Model rumit : harus dicari jawaban dlm. bentuk numerik (angka) pada titik-titk tertentu dng. metode numerik.

3. Beberapa Model Matematis • Sistem Persamaan Linear (SPL) • Bentuk Umum : Cari vektor x berukuran N yg. memenuhi : Ax = b A : matriks berukuran N X N b : vektor berukuran N • Contoh : • Cari x yang memenuhi : x1 + x2 + 0x3 + 4x4 = 3 2x1 - x2 + 5x3 + 0x4 = 2 5x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = 5 -3x1 + 0x2 + 2x3 + 6x4 = -2 • Untuk matriks A dng. sifat-sifat tertentu, metode pencarian solusinya berbeda. • Perbedaan ini mempertimbangkan : efisiensi waktu & pemakaian memori.

4. Beberapa Model Matematis • Sistem Persamaan Non-Linear (SPNL) • Bentuk Umum : Cari x yg. memenuhi : f1(x1,x2,...,xN) = 0 f2(x1,x2,...,xN) = 0 ... = ... fN(x1,x2,...,xN) = 0 • Contoh : x2 – x + y2 + z2 – 5 = 0 x2 + y2 – y + z2 – 4 = 0 x2 + y2 + z2 + z = 0 • Persamaan Diferensial Parsial (PDP) • Bentuk Umum : A, B, C : konstan

5. Beberapa Model Matematis • Contoh : Model penyebaran temperatur steady-state pada bidang segiempat : Uxx(x,y) + Uyy = 0, 0 < x < 1, 0 < y < 1 Syarat batas : x = 0 : u(0,y) = f3(y) ; y = 0 : u(x,0) = f1(x) x = 1 : u(1,y) = f4(y) ; y = 1 : u(x,0) = f2(x) Solusinya diberikan dalam bentuk counter berikut :

6. Beberapa Model Matematis • Sistem persamaan Diferensial Biasa (PDB) • Bentuk Umum : y’ = f(x,y), y(x0) = y0 didefinisikan pada interval [x0, xend], y dan f vektor berukuran N (besar sistem). • Contoh : Model dinamika populasi dan sistem persamaan non-linier : ; Nilai awal : untuk Solusinya diberikan dalam bentuk gambar berikut :

7. Beberapa Model Matematis • PDB ada 2 macam : • PDB Stiff : beberapa komponen jawabannya mempunyai perbedaan nilai absolut yg. besar dibanding komponen lainnya. • PDB non-stiff : komponen solusinya satu dng. yg. lain besarnya tidak terlalu berbeda jauh. • PDB stiff memerlukan metode di mana setiap langkah proses memerlukan jawaban sistem persamaan non-linier. • Pemecahan suatu model bisa menghasilkan model lain, misal : • PDP bisa menjadi PDB • SPNL harus melalui proses SPL

8. MetodeNumerik • Metodenumerikadalahteknik yang digunakanuntukmemformulasikanpersoalanmatematiksehinggadapatdipecahkandenganoperasiperhitungan/aritmetikabiasa (tambah, kurang, kali, danbagi). • Metodeartinyacara, sedangkannumerikartinyaangka. Jadimetodenumeriksecaraharafiahberarticaraberhitungdenganmenggunakanangka-angka.

9. MetodeNumerik • Padaumumnyamencakupsejumlahbesarkalkulasiaritmetika yang sangatbanyakdanmenjenuhkan • Karenaitudiperlukanbantuankomputeruntukmelaksanakannya

10. Motivasi Kenapadiperlukan? • Padaumumnyapermasalahandalamsainsdanteknologidigambarkandalampersamaanmatematika • Persamaaninisulitdiselesaikandengan “tangan”  analitissehinggadiperlukanpenyelesaianpendekatannumerik

11. Persoalanmatematika Bagaimanacaramenyelesaikannya ? • Tentukan akar2 persamaanpolinom 23.4x7 - 1.25x6+ 120x4 + 15x3 – 120x2 – x + 100 = 0 2. Selesaikansistempersamaan linier 1.2a – 3b – 12c + 12d + 4.8e – 5.5f + 100g = 18 0.9a + 3b – c + 16d + 8e – 5f - 10g = 17 4.6a + 3b – 6c - 2d + 4e + 6.5f - 13g = 19 3.7a – 3b + 8c - 7d + 14e + 8.4f + 16g = 6 2.2a + 3b + 17c + 6d + 12e – 7.5f + 18g = 9 5.9a + 3b + 11c + 9d - 5e – 25f + 10g = 0 1.6a + 3b + 1.8c + 12d - 7e + 2.5f + g = -5

12. Metode Analitik versus Metode Numerik • Pertama, solusidenganmenggunakanmetodenumerikselaluberbentukangka. Bandingkandenganmetodeanalitik yang biasanyamenghasilkansolusidalambentukfungsimatematik yang selanjutnyafungsimateamatiktersebutdapatdievaluasiuntukmenghasilkannilaidalambentukangka. • Kedua, denganmetodenumerik, kitahanyamemperolehsolusi yang menghampiriataumendekatisolusisejatisehinggasolusinumerikdinamakanjugasolusihampiran(approxomation) atausolusipendekatan, namunsolusihampirandapatdibuatseteliti yang kitainginkan. Solusihampiranjelastidaktepatsamadengansolusisejati, sehinggaadaselisihantarakeduanya. Selisihinilah yang disebutdengangalat (error).

13. Metode Analitik versus Metode Numerik • Kebanyakanpersoalanmatematikatidakdapatdiselesaikandenganmetodeanalitik. • Metodeanalitikdisebutjugametode exact yang menghasilkansolusi exact (solusisejati). • Metodeanalitikiniungguluntuksejumlahpersoalan yang terbatas. • Padahalkenyataanpersoalanmatematisbanyak yang rumit, sehinggatidakdapatdiselesaikandenganmetodeanalitik.

14. MetodeAnalitikvsMetodeNumerik • Kalau metode analitik tidak dapat diterapkan, maka solusi dapat dicari dengan metode numerik. • Metode Numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematika sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan biasa (+, - , / , *)

15. PerbedaanMetodeNumerikdanMetodeAnalitik • Metode Numerik • Solusi selalu berbentuk angka • Solusi yang dihasilkan solusi pendekatan sehingga terdapat error • Metode Analitik • Solusi dapat berupa fungsi matematik • Solusi yang dihasilkan solusi exact

16. ContohkasusMetodeNumerik • Pemodelantumpahanminyak, peringatandinipenanggulangan, dananalisistingkatkerusakanlingkungan di indonesia • Prakiraancuaca • Pergerakanbenda-bendalangit

17. MOTIVASI METODE NUMERIK VS ANALITIK

18. Contoh • Selesaikan integral di bawah ini • Metode Analitik

19. Contoh • Metode Numerik • Error = |7.25-7.33| = 0.0833

20. MotivasiMetodeNumerik di BidangRekasayaTermodinamika • Contoh Sebuah bola logamdipanaskansampaipadasuhu 100C, kemudianpadasaat t=0, bola itudimasukkankedalam air yang bersuhu 30C. Setelah 3 menit, suhu bola berkurangmenjadi 70C. Tentukansuhu bola setelah 22,78 menit. Diketahuitetapanpendinginan bola logamtersebutadalah 0,1865 Hukumpendinginan Newton, lajupendingian bola setiapdetiknyaDT/dt= -k(T-30) Dengan k=tetapanpendinginan bola logam

21. Metode analitismatematikawan Penyelesaian = metodekalkulusdiferensial Solusi umum Nilaiawal yang diberikanadalah T(0) = 100, denganmenggunakannilaiawalsolusikhususpersamaandiferensialadalah = 31 C Jadisuhu bola setelah 22.78 menitadalah31 C

22. Motivasi Dari Persamaan Non Linear 2 Dari suatuperhitungantentangkebutuhanakanproduksi optimal suatukomponenstrukturdidapatpersamaanbiaya yang dibutuhkanuntukpengadaaanproduksidalamsatuharisebagaiberikut: dengan C = biaya per hari N = jumlah komponen yang diproduksi

23. Motivasi Dari Persamaan Non Linear 3

26. Contoh • Suatupengirimanbarang yang memproduksicoklatdengancampurankrem, cofeedankacang, denganberlapiscoklatcerahdanpekat. Bilasebuahkotakdiambilsecaraacak , serta X dan Y masing-masingmenyatakanproporsicampurankremberlapiscoklatcerahdanpekatdenganfungsipadatgabungannyaadalah : • a. Tunjukkan • b. Cari P[(X,Y)єA] jika A daerah {(x,y)/ 0 < x < ; < y < }

27. Jawab: a. b. P[(X,Y)єA] = P ( 0 < x < ; < y < )

28. Motivasiuntukinterpolasi Sejumlahuangdidepositokandengantingkatbungatertentu. Tabelberikutmenguraikanperkiraaanuangdepositopadamasa yang akandatang, berupanilaiuangpada 20 tahunmendatangdibandingkandengannilaisekarang.

29. MotivasiInterpolasi JikaRp. 100.000.000,- didepositokansekarangdengansukubunga 23,6%, berapanilaiuangtersebutpada 20 tahun yang akandatang. Gunakaninterpolasi linear, kuadratik, dan Lagrange bagipenyelesaian, kemudianbandingkanhasilperhitunganketigametodetersebut.

33. Peranan Komputer dalam Metode  Numerik • Program = FORTRAN, PASCAL, C, C++, BASIC, dansebagainya. • aplikasi = MathLab, MathCad, Maple, Mathematica, Eureka, dansebagainya

34. Penyelesaian persoalan numerik • Identifikasimasalah • Memodelkanmasalahinisecaramatematis • Menyederhanakan model • FormulasiNumerik - Identifikasimetodenumerik yang diperlukanuntukmenyelesaikannyadengantaksirananalisisgalatawal (yaitutaksirangalat, penentuanukuranlangkah) • Pertimbanganmemilihmetode: apakahmetodetersebutteliti, mudahdiprogram? • Menyusunalgoritmadarimetode yang dipilih • Pemrograman=Implementasimetodeinidalamkomputer • Operasional=ujicoba • Evaluasi

35. MetodeNumerikVSAnalisisNumerik • AnalisisNumerik = kajianbarusetelahmetodenumerik analisisuntukmengetahuimetodenumerik yang digunakanapakahsudahmemberikansolusihampiran yang paling tepat • Metode = algoritmapersoalanmasalahsecaranumerik • Analisis = analisametode