SYMPOSIUM OOSTENDE 2006 N umeriek, grafisch en symbolisch wiskunde leren

1. SYMPOSIUM OOSTENDE 2006Numeriek, grafisch en symbolisch wiskunde leren 18 augustus 2006

2. 10 jaar zinvol gebruik van ICT-hulpmiddel geïntegreerd in wiskundelessen SO • Situeren in BREDER vakdidactisch kader : accentverschuivingen in wiskunde-onderwijs. • Meer aandacht voor GEBRUIK van wiskunde. • Visie op “maatschappelijke” verwachtingen, effecten en doelen. • Meer CONSTRUCTIEVE aanpak. • Vele VAKDIDACTISCHE aspecten aan BRUIKBAAR hulpmiddel.

3. RepresentatiesNumeriek,Grafisch, Symbolisch • “Beeld” van wiskunde : getallen, grafieken, formules • Ontwikkelen van begrip en vaardigheid : werken met GETALLEN: rekenkunde werken met GRAFIEKEN:meetkunde werken met FORMULES: algebra + onderlinge verbanden

4. Afstand punt-rechte : formule afleiden • Afstand punt P(-4,7) tot rechte r :3x+4y+9=0 • Meten • Berekenen : Loodlijn b, snijpunt, afstand • Algemene formule afstand punt P(x1,y1) tot rechte rax+by+c=0 AFLEIDEN

5. Afstand punt-rechte • Aansluiting concrete berekening met betekenis,zin van veralgemeende formule • Organisatie van de berekeningen met reductie van de complexiteit van de algebra (parameters, berekening afstand zonder substitutie van de opgeloste k)

6. Afstand punt-rechte : formule afleiden • Richtingsvector r : (b,-a) • Richtingsvector loodlijn l : (a,b) • Parametervergelijkingen loodlijn l, coördinaten snijpuntS(x1+ k.a, y1+ k.b) • Afstand PS • k = ? : uit S ligt op r

7. Afstand punt-rechte : formule gebruiken • BISSECTRICES Meetkundige Plaats van alle punten even ver van twee rechten • PARABOOL Meetkundige plaats van alle punten even ver van een punt en een rechte

8. RepresentatiesNumeriek,Grafisch, Symbolisch • Gebruik van hulpmiddelen voor maken van berekeningen, vervaardigen van figuren, grafieken en diagrammen, manipulaties met formules. • ICT-hulpmiddelen : digitale, electronische representatie

9. ICT : electronische representatie • NUMERIEK : “Floating point” van klassieke rekenmachine. GRAFISCH : PIXELS op scherm worden verlicht. Welke ? Berekenen met numerieke module. • SYMBOLISCH Computer Algebra Formulemanipulatie : eigen software systeem

10. Numeriek (Getallen) • “Floating point” voorstelling in computers, rekentoestellen • Getal = “decimaal getal” met eindig aantal decimalen, afronden • Bruikbaar voor vele situaties • Numerieke wiskunde (analyse, lineaire algebra)

11. Numeriek / GRAFISCH • “Floating point” voorstelling in computers, rekentoestellen. • Gebruiken voor “berekenen” van GRAFIEKEN/grafische voorstellingen. Organisatie via vectoren en matrices. • Computerscherm = Matrix van “pixels” beschreven met coördinaten. • Ontwikkeling grafische software.

12. SYMBOLISCH : Computer Algebra • CAS Formulemanipulatie : SOFTWARE • Gehele getallen zijn rijen symbolen • Breuken zijn “koppels” gehele getallen • Irrationale getallen : symbolen als • “letters,symbolen” worden via voorgeprogrammeerde regels gemanipuleerd (voorbeeld SOLVE(3x+y=4,x). De variabele “x” is hier gewoon een symbool

13. “Informatica” standpunt Numeriek,Grafisch, Symbolisch • ICT-hulpmiddelen : digitale, electronische representatie • Vanuit “informatica”standpunt : Bernhard Kutzler (Oostende 2005) Numerics versus Symbolics

14. HULPMIDDEL : inhoudelijk integreren in wiskundeonderwijs • verschillende representaties IN COMBINATIE gebruiken • Numerics AND Symbolics • GRAFISCHE REKENMACHINE + Formules zonder ICT • GRAFISCHE REKENMACHINE + CAS-systeem

15. Verschillende representaties gebruiken • verschillende representaties tegelijk gebruiken. • - niet eenzijdig (verbaal)-FORMEEL. • - herwaardering van getallen en grafische voorstellingen : “eenvoudiger”, “concreter”, “haalbare” voorstellingen waarmee toch al heel wat te leren is.

16. NUMERIEK/GRAFISCH : integreren in wiskundeonderwijs • sluit aan bij “visie”, “beeld” wiskundeonderwijs • - CONSTRUCTIEF voorbereiding op abstractere aanpak • - meer aandacht voor GEBRUIK van wiskunde (wiskunde “Queen and servant of sciences”)

17. GRAFISCH Rekentoestel • Grafisch rekentoestel als didactisch hulpmiddel voor tweede en derde graad • laat toe om (decimale) getallen en grafieken meer te gebruiken • - in combinatie met leren werken met algebra (formules) • - “kijken” naar getallen en grafieken • - Hulpmiddel bij uitvoeren (genereren tabellen, grafieken ...)

18. GETALLEN • GETALLEN in secundair onderwijs : werken met “reële” getallen zonder formele constructie van het systeem van de reële getallen • Decimale getallen zien als “benaderingen” • in tabellen, rekenbladen, vectoren, matrices • Voldoende voor analyseren en begrijpen van veel situaties • Toch aandacht voor breuken, irrationale getallen ..

19. FUNCTIES • FUNCTIES via tabellen, grafieken en formules (voorschrift) • Volgorde : zonder FORMEEL functiebegrip al werken met (reële) functies • Verloop van elementaire reële functies : ZONDER formele theorie ANALYSE • Ervaring opdoen met begrippen (minimum, maximum, nulpunten...) • Gegeven data-punten beschrijven met functies (regressiemodellen)

20. Numeriek (Getallen) • Getal = “Decimaal” getal (40.5). • Gebruikt voor kwantificeren van probleem. • Daarna georganiseerde analyse van data via berekeningen en/of grafieken en (eenvoudige) algebra. • Wiskunde gebruiken (mathematiseren, wiskundige modellen ..)

21. Getallen en Grafieken GEBRUIKEN • In combinatie met (eenvoudige) formules • Mogelijkheden voor wiskundig minder “sterke” leerlingen. • Zingeving voor FORMULES

22. Exponentieel verband tussen de tijd en het volume Manueel opsporen van het verband Controleer of ‘alle’ waarden uit de tabel min of meer beantwoorden aan je gevonden formule. Opsporen van het verband met het grafisch rekentoestel Begeleid zelfstandig leren en werken in de derde graad secundair onderwijsmet de TI-83 (84) Plus Geert Delaleeuw

23. HULPMIDDEL : inhoudelijk • Cahier 6 - Ontwikkeling van het functiebegrip in de tweede graad • Cahier 1 - Mathematiseren met functies in de derde graad • Cahier 2 - Elementaire functies leren gebruiken als wiskundige modellen • www.t3vlaanderen.be

24. HULPMIDDEL : inhoudelijk • STATISTIEK “beschrijvend” , “grafisch” : zonder FORMEEL kansbegrip toch werken met kansen en “integralen” (als oppervlakten). • REGRESSIE om verbanden tussen data te beschrijven.

25. HULPMIDDEL : inhoudelijk

26. HULPMIDDEL : inhoudelijk

27. HULPMIDDEL : inhoudelijk

28. HULPMIDDEL : inhoudelijk • Cahier 3 - Regressie, een eerste kennismaking • Cahier 8 - Betrouwbaarheidsintervallen en het testen van hypothesen • Cahier 7 - Modelleren vanuit experimenteel verkregen data

29. HULPMIDDEL : inhoudelijk • VERANDERINGEN (Dynamisch syteem) beschrijven • Eerst DISCREET “beschrijvend” : numeriek, grafisch, formules • Overstap naar “Afgeleide in een punt” om verandering op 1 moment te beschrijven. • Calculus : werken met afgeleide functies en “calculus” zonder formeel limietbegrip toch werken met limieten.

30. Opbouw logistisch model

31. Logistisch Model r=0.7,K=10

35. Logistische groei (Verhulst / Pearl&Reed)

36. Symbol Sense, Algebra en CAS • Band tussen verschillende representaties is belangrijk. Alleen grafisch en numeriek is een nadeel.

37. HULPMIDDEL : computeralgebra • Aansluiting met FORMULES • ZINVOL in te schakelen in secundair wiskundeonderwijs ? • NIET vervanging voor LEREN van de algebraïsche REKENREGELS of van de opbouw en zin van formele systemen

38. HULPMIDDEL : computeralgebra • WEL • Hulpmiddel voor CORRECT en BEWUST toepassen van gekende formele rekenregels • - in complexere problemen (oplossing deelprobleem) • - om te werken met parameters • - om te werken met substituties

39. HULPMIDDEL : computeralgebra • WEL • Gebruiken als CONTROLEMIDDEL om inzicht te krijgen in basiselementen (substitutie, equivalentie van formules) • Alternatieven proberen, overschakelen naar andere representaties

40. HULPMIDDEL : computeralgebra • WEL • Bijdrage bij verwerven van “symbol sense” (zinvol gebruiken van formules om oplossingen te vinden voor problemen) • P. Drijvers : “Wat “a” is kan je niet weten”

41. HULPMIDDEL : computeralgebra • Situaties aanbieden waarin “symbol sense” kan groeien in directe relatie met conceptuele wiskunde. Vooral uitleggen wat de ZIN en kracht is en hoe het als hulpmiddel gehanteerd (geïnstrumentaliseerd) wordt.

42. Symbol Sense en Algebra • Rol van “letters” als onbekenden, variabelen, parameters … • Belangrijke elementen : « Gestalt » Keuzes maken

43. Grafisch + Computer Algebrain wiskunde-onderwijs • - algebra, calculus ... zijn op zich formele systemen, methoden om oplossingen te vinden • Gebruiken in COMBINATIE met grafische/numerieke representatie • Meer nadruk op zingeving en opzet van het systeem • Relativeren voor ingewikkelde puur mechanische oefeningen

44. Formules-Symbol Sense • Experimenteren met algebra en met diverse representaties • Hulpmiddel wordt INSTRUMENT (welke formule,procedure wanneer gebruiken ?)

45. Gemeenschappelijke loodlijn van twee kruisende rechten

46. Gemeenschappelijke loodlijn van twee kruisende rechten • Parametervergelijkingen van de rechten AB en CD neem een punt P (met parameterk) op AB neem een punt Q (met parameter l) op CD. • PQ loodrecht op AB : PQ loodrecht op CD : • k enl bepalen (2 vergelijkingen met 2 onbekenden) zo kennen we de punten P en Q en dus ook de lengte van PQ = d(AB,CD)

47. Van parametervergelijkingen naar vergelijking van een vlak

48. Van parametervergelijkingen naar vergelijking van een vlak • Vind een cartesiaanse vergelijking voor het vlak  met parametervergelijkingen • vlak  door P(6,9,1) met richtingen (-4,12,5) en (1,3,5)

49. Van parametervergelijkingen naar vergelijking van een vlak • We gebruiken de eerste twee vergelijkingen om op te lossen naar r en s : met CAS. • Je kunt een stelsel invoeren in de SOLVE-functie door de vergelijkingen te verbinden met "and". De variabelen die we willen berekenen uit dat stelsel plaatsen we tussen accolades.

50. Van parametervergelijkingen naar vergelijking van een vlak • Vervolgens substitueren we deze uitdrukkingen in de derde vergelijking,met | SUBSTITUTE.TUTE Eventueel werken we ook nog de noemers weg. • Het vlak  heeft dus als vergelijking 45 x+25 y – 24 z – 471 = 0.