Matrice ABCD

1. Matrice ABCD • I coefficienti A e D sono adimensionali, B è un’impedenza e C un’ammettenza • Definibile solo per un numero pari di porte • Reciprocità (2 porte) se det(ABCD)=AD-BC=1 • Reciprocità (2N) se AD-BC=I dove I matrice identità • Per un circuito simmetrico vale anche A=D • Assenza di perdite: A e D reali, B e C immaginari puri

2. Matrice ABCD Normalizzata • In tal caso tutti i coefficienti sono adimensionali

3. Matrice di diffusione (S) di un 2 porte • Definiamo quantità legate alle ampiezze delle onde incidenti e riflesse • In tal caso vale (se consideriamo le tensione e le correnti normalizzate alle due porte) • La matrice S è quella che lega le ampiezze delle onde riflesse a quelle delle onde incidenti

4. Matrice di diffusione (S) di un 2 porte • Cioè, s11 è legato al coefficiente di riflessione alla porta 1 quando la due è chiusa su carico adattato (non c’è onda riflessa a2); • Cioè, s21 è legato al coefficiente di trasmissione dalla porta 1 alla porta 2 quando la due è chiusa su carico adattato • La matrice S è definita quindi solo quando si specifichino le impedenze caratteristiche delle linee che portano l’onda ai terminali dell’oggetto da caratterizzare, ovvero le impedenze di normalizzazione • La matrice S si definisce perché misurabile anche (e soprattutto) a frequenze di microonde

5. Matrice di diffusione (S) di un n porte • definiamo • con • Oppure (il che è lo stesso) • La matrice S è • I cui elementi • Notate che, nel caso molto comune di normalizzazione di tutte le porte ad una sola impedenza caratteristica (tipicamente 50 W) questa diventa • Cioè proprio i coefficienti di riflessione e trasmissione quando le porte sono chiuse sull’impedenza di normalizzazione

6. Matrice di diffusione (S) di un n porte • Ma perché usare tale normalizzazione? Se calcoliamo la potenza media che incide alle porte • E la potenza riflessa • Quindi con tale definizione le quantità sono legate all’energia trasportata dal campo elettromagnetico • La potenza netta entrante nel circuito sarà pari alla differenza tra potenza incidente e riflessa, sommata su ciascuna porta • Ma sappiamo che • quindi

7. Matrice di diffusione (S) di un n porte • In assenza di perdite, tale potenza deve essere nulla per qualunque insieme di eccitazioni a per cui • Condizione di assenza di perdite (Unitarietà di S) • La reciprocità invece implica che S sia simmetrica • Consideriamo un due porte simmetrico e senza perdite: vediamo qual è il numero minimo di parametri necessari a caratterizzarlo; la matrice S è 2x2 • Nel definire la matrice S, dobbiamo specificare il piano di riferimento di fase si ciascuna porta: in pratica dobbiamo per esempio specificare in un dispositivo ad una porta, in quale sezione della linea di alimentazione il coefficiente di riflessione è misurato. Se la linea è senza perdite, il cambiamento della sezione comporterà solo un cambiamento della fase del coefficiente di riflessione • Possiamo quindi sempre scegliere un piano di riferimento per cui la fase di s11 sia zero, cioè s11 sia reale

8. Proprietà di un 2 porte simmetrico senza perdite • La condizione di assenza di perdite porta a • Possiamo porre, parametrizzando • con • Quindi abbiamo un solo parametro indipendente

9. Proprietà di un 3 porte simmetrico, reciproco, senza perdite • Immaginiamo di avere un 3 porte con simmetria rotazionale, così che s11=s22=s33 • Anche in questo caso scegliamo il piano di riferimento per ottenere s11 reale; la matrice diventa • Imponendo l’assenza di perdite otteniamo • Che NON AMMETTE SOLUZIONI PER a=0

10. Proprietà di un 3 porte simmetrico, reciproco, senza perdite • Quindi un tre porte simmetrico, reciproco e senza perdite non può essere adattato simultaneamente a tutte le porte • Può esserlo, invece, un 3 porte non reciproco, o uno con perdite • Un particolare 3 porte non reciproco estremamente importante nella pratica è il circolatore • Di fatti possiamo dimostrare che 3 porte adattato, senza perdite non reciproco è necessariamente un circolatore • Infatti la matrice S di un 3 porte adattato è • Imponendo l’assenza di perdite otteniamo le equazioni • Che sono soddisfatte se • Chiaramente non reciproco • Oppure se

11. 1 2 1 2 1 2 TX 3 3 3 RX Circolatore • Le due possibili soluzioni corrispondono a due possibili circolatori, uno che consente flusso di potenza in senso orario e l’altro in senso antiorario • La prima soluzione quindi descrive un circuito che trasmette potenza dalla porta 1 alla 2, o dalla 2 alla 3 o dalla 3 alla 1, ma non in direzione opposta o tra porte non contigue • Esempio possibile utilizzo: radar in cui la stessa antenna è usata sia in trasmissione che in ricezione

12. Proprietà di un 4 porte reciproco, senza perdite, adattato alle porte • In tal caso la matrice è • Imponiamo l’assenza di perdite • E sottraendo • E sottraendo • Le due possono essere soddisfatte se S14=S23=0: ACCOPPIATORE DIREZIONALE • I prodotti per gli elementi diagonali danno poi

13. Proprietà di un 4 porte reciproco, senza perdite, adattato alle porte • Che implica • Possiamo scegliere il piano di riferimento in modo che S12 sia reale • Inoltre, considerando che S13 ed S24 hanno stesso modulo, in forma polare scriviamo • Ora valutiamo l’equazione che viene dal moltiplicare riga 2 e colonna 3 • Cioè, sostituendo • Due scelte particolari si incontrano nella pratica • Accoppiatore simmetrico o a quadratura di fase, la cui matrice S è quindi • Notate che, in questo caso, oltre alla simmetria della matrice imposta dalla reciprocità, essa è simmetrica anche rispetto alla diagonale secondaria, indicando un circuito con un piano di simmetria

14. Proprietà di un 4 porte reciproco, senza perdite, adattato alle porte • Accoppiatore antisimmetrico, la cui matrice S è quindi • Notate infine che a e b non sono indipendenti, infatti • Ora, analizzando in dettaglio le altre possibili soluzioni, si perviene o a riconsiderare lo stesso caso sin qui analizzato, o ad ottenere il caso S12=S13=S24=S34=0, cioè 2 due porte disaccoppiati ed indipendenti • Quindi, escludendo quest’ultimo caso - di nessun interesse- ogni 4-porte reciproco e senza perdite adattato si comporta come un accoppiatore direzionale. • e l’accoppiatore direzionale in quadratura di fase deve per forza essere simmetrico.

15. 1 2 4 3 Proprietà di un 4 porte reciproco, senza perdite, adattato alle porte • quindi, schematicamente, un accoppiatore ideale cede potenza alla porta accoppiata in ragione del fattore di accoppiamento (coupling factor) • mentre cede tutta la potenza rimanente alla porta diretta • La porta rimanente è disaccoppiata o isolata accoppiata isolata

16. Nella pratica caratterizzano un accoppiatore: Accoppiatori • Accoppiamento • Cioè, che frazione della potenza in ingresso è ceduta sulla porta accoppiata • Isolamento • Cioè, che frazione della potenza in ingresso è ceduta sulla porta isolata • Direttività • Cioè, capacità dell’accoppiatore di isolare onde che vanno in una direzione e nella direzione opposta • Se la potenza in ingresso si divide tra porta diretta ed accoppiata in parti uguali (1/2 della potenza va sulla 2 ed 1/2 sulla 3), ovvero se il fattore di accoppiamento è 3dB, si parla di ibridi. In tal caso • In tal caso, la matrice S per un ibrido ideale a 90° è • mentre, la matrice S per un ibrido ideale a 180° è

17. E’ un semplice 3 porte per divisione o combinazione potenza Divisore di potenza a “T” • Essendo reciproco e senza perdite, non può essere adattato a tutte le porte • B è una suscettanza che tiene conto dei campi dovuti alla discontinuità • Volendo adattare alla porta di ingresso, la condizione è che • I valori di Z1 e Z2 possono poi essere scelti per avere diversi rapporti di divisione. Chiaramente le 2 porte rimanenti non possono essere adattate • Trascuriamo inizialmente B, e consideriamo a la frazione trasmessa alla porta 1 ed 1- a quella alla 2; essendo la porta di ingresso adattata otteniamo • Chiaramente l’impedenza vista per esempio guardando nella linea 1, sarà il parallelo di Z0 e Z2

18. Chiaramente l’impedenza vista per esempio guardando nella linea 1, sarà il parallelo di Z0 e Z2 • Ed il coefficiente di riflessione diviene

19. Si può adattare alle porte, anche se le porte di uscita non sono isolate Divisore resistivo • Analizziamo il caso di divisore con fattore 1/2 • L’impedenza vista in uno dei rami di uscita • Quindi, considerando i due rami di uscita in parallelo, deve essere • Essendo il 3 porte simmetrico, lo stesso avviene guardando nella porta 2 o nella porta 3: S11=S22=S33=0 • Se la tensione alla porta 1 è V1, la tensione al centro (V) è • E le tensioni di uscita • Per cui S21=S31=S23=1/2, ovvero -6dB • Appare chiaro che metà della potenza è dissipata nei resistori

20. E’ un divisore che utilizza resistori, ma Divisore Wilkinson • Se le porte sono adattate, nessuna potenza viene dissipata: solo la potenza riflessa è dissipata • Consente di ottenere isolamento tra le porte di uscita; studiamo quello a 3dB • Per studiarlo, normalizziamo tutto a Zo e ridisegniamo evidenziando le simmetrie

21. Possiamo studiarlo sfruttando la sovrapposizione degli effetti Divisore Wilkinson • Se volessimo infatti sapere la risposta del circuito quando alla porta 2 applichiamo un generatore Vg2=4V mentre la porta 3 (Vg3) è lasciata a 0 • potremmo prima studiare il caso in cui applichiamo Vg2=Vg3=2V e poi il caso Vg2=-Vg3=2V: la somma dei due casi produce il risultato desiderato • Calcolare la risposta a tali eccitazioni particolari (simmetrica ed antisimmetrica, ovvero pari e dispari) è più semplice, poiché la simmetria del problema consente di ridurre, come vedremo il 2-porte a 2 singole porte indipendenti • Questa è una proprietà del tutto generale dei circuiti con simmetrie, per cui si possono trovare insiemi di eccitazioni, o autoeccitazioni, che decompongono il problema a N porte in N problemi ad una porta • Consideriamo i due problemi indipendentemente, a partire dall’eccitazione pari

22. 1 1 • Se Vg2 e Vg3 sono uguali, le tensioni V2 e V3 sono uguali 2V Divisore Wilkinson • Quindi non fluisce corrente nel resistore, che possiamo togliere 2V • Anche nel nodo di ingresso non fluisce corrente: è di fatto un circuito aperto • In pratica c’è uno zero di corrente in tutti i rami che attraversano il piano di simmetria: si parla di muro magnetico • Il circuito risulta quindi un semplice tratto di linea in quarto d’onda chiuso su resistenza 2, per cui guardano nella porta 2 si vede un’impedenza • E chiaramente scegliendo Z pari alla radice di 2, si vede in ingresso 1, cioè adattamento; quindi • Ora ci occorrono V1 e V2: sappiamo che l’impedenza che vediamo nel nodo di V2 è 1: quindi abbiamo un partitore resistivo, e V2 risulta • Per conoscere V1, ricordiamo che si tratta di un tratto di linea in quarto d’onda, in cui V(0)=V=V++V-

23. D’altro canto sappiamo anche la corrente che fluisce sul resistore 2 Divisore Wilkinson

24. Trattiamo il caso dispari: Vg2 e Vg3 sono uguali e opposte 2V Divisore Wilkinson • In pratica c’è un massimo di corrente in tutti i rami che attraversano il piano di simmetria, ovvero uno zero di tensione sul piano di simmetria: si parla di muro elettrico -2V • Il circuito risulta quindi quello di partenza in cui tutti i nodi centrali sono stati rimpiazzati da un corto a massa • Ora, il corto della porta 1, dopo un quarto d’onda diventa un aperto, e “vediamo” solo r • E vediamo che quindi se r=2, il coefficiente di riflessione è nullo, cioè • Chiaramente ora risulta

25. Per vedere cosa succede alla porta 1, ci comportiamo in modo simile al caso pari, infatti il circuito appare così Divisore Wilkinson • il resistore non è attraversato da corrente (quindi lo possiamo togliere) e si tratta di due tratti in quarto d’onda, ciascuno che vede un’impedenza di ingresso normalizzata pari a • che posti in parallelo danno di nuovo impedenza 1, cioè adattamento (S11=0) • Ora, per riottenere la matrice S complessiva, bisogna ricombinare i risultati ottenuti, “pesandoli” con le eccitazioni ipotizzate • in particolare, sappiamo che S22 ed S33 saranno 0, visto che lo sono sia nel caso pari che nel caso dispari, così come 0 sarà S23=S32, visto che sia nel caso pari che dispari le porte 2 e 3 sono disaccoppiate

26. grazie al fatto che, in questo caso, tutte le porte sono adattate se chiuse sull’impedenza di normalizzazione • Per S12 avremmo Divisore Wilkinson • e, per simmetria (porte 2 e 3 interscambiabili)