Rangul unei matrice

1. Rangul unei matrice Consideram matricea A cu m linii si n coloane , nenula , cu elemente numere complexe : iar un numar natural , astfel incat ( prin min(m,n) intelegem cel mai mic dintre numerele m si n ) . Daca din matricea A alegem klinii : si kcoloane : , elementele care se gasesc la intersectia acestor linii si coloane formeaza o matrice patratica de ordink : al carui determinant se numeste minor de ordin k al matricei A .

2. - Fie o matrice nenula ; - Spunem ca matricea Aare rangulr si scriem rangA = r , daca A are un minor nenul de ordin r , iar toti minorii de ordin mai mare decat r (daca exista) sunt nuli . Daca A este matricea nula , convenim sa spunem ca matricea are rangul 0 , adica : rang(0m,n)=0 . - Fie o matrice ; - Numarul naturaleste rangul matriceiA daca si numai daca exista un minor de ordinul al lui A , nenul , iar toti minorii de ordinul (daca exista) sunt nuli . - Fie si doua matrice ; - Atunci orice minor de ordin , , al produsului de matrice se poate scrie ca o combinatie liniara de minori de ordinul ai matricei (sau , ca o combinatie liniara de minori de ordinul ai matricei B ) . Definitia rangului matricei Teorema Teorema

3. Calculul rangului unei matrice • Rangul unei matrice se poate calcula astfel : • Fiind data o matrice nenula , aceasta are neaparat un minor de ordinul intai nenul (putem lua orice element nenul al matricei) ; • Daca am gasit un minor de ordinul k nenul , il bordam pe randul cu elementele corespunzatoare ale uneia dintre liniile si uneia dintre coloanele ramase , obtinand astfel toti minorii de ordinul k+1 care-l contin. • Daca toti acesti minori sunt nuli , rangul matricei este r = k . • Daca insa cel putin unul dintre acestia (de ordinul k+1 ) este nenul , atunci retinem unul dintre ei si continuam procedeul . • Numarul minorilor de ordinul r+1 care trebuie considerati este : • , pentru a stabili ca o matrice are rangul r nu mai poate fi micsorat . Totusi numarul de calcule necesar pentru a afla rangul unei matrice se poate reduce in diverse cazuri particulare . • Rangul unei matrice ramane neschimbat , daca : • 1). Multiplul unei linii (coloane) se aduna la o alta linie (coloana) . • 2). Liniile (coloanele) se schimba intre ele . • Rangul unei matrice mai poate fi calculat si folosind transformarile elementare , operatii de schimbare intre ele a liniilor sau coloanelor , sau prin adunarea lor , operatie repetata pana cand ajungem sa avem minimum de elemente diferite de zero rangul matricei A este egal cu numarul elementelor

4. Exercitii 1.Sa se determine rangul umatoarelor matrice : a) A= min{2,2}=2 , =26 –(-18) =26 -18 = 8 ≠0 => rangA =2 • A= r=4 d= = =1(-1) =- 5 +84 – 90+8 =92-95 =-3 ≠0 => rangA =4

5. d2= r≤min{3,4}=3 • 2.Sa se calculeze rangul urmatoarelor matrice pentru diferitele valori ale lui • a11=1≠0 • d1= =1+4=5≠0 • sunt doi minori de ordin 3 obtinuti prin bordarea lui d1 • d2= =1+14+10 +5-7 +4 = 24+3 • d2=0 24+3 =0 => =-8 • d3= =10+14 -7-5 = 3-9 • d3=0 3-9 =0 => = 1/3 • Pentru = -8 d2=0, dar d3 ≠0=> rang A=3 • Pentru = 1/3 d3=0 , dar d2 ≠0=> rang A=3 • Deci rang A=3