Geometria

1. Geometria Triângulos Robson Ricardo de Araujo robcardo@ig.com.br

2. Triângulos Triângulos são figuras que possuem três pontos não-colineares ligados por segmentos de reta. Os pontos são chamados de vértices e os segmentos de lados do triângulo. A C B

3. Condição de existência Para que saibamos se três segmentos de medidas a, b e c podem formar um triângulo é preciso que a soma de quaisquer dois destes segmentos seja maior que a medida do terceiro lado, ou seja, a < b + c b < a + c c < a + b b a c

4. Ângulos internos Todo triângulo ABC tem três ângulos internos, formados nos vértices A, B e C.

5. Classificação por ângulos Quanto aos ângulos, podemos classificar os triângulos da seguinte maneira: Retângulo: possui um ângulo interno de 90º. Acutângulo: possui todos os seus ângulos internos menores do que 90º. Obtusângulo: possui um ângulo interno maior do que 90º.

6. Soma dos ângulos internos Teorema do Ângulo Interno A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º.

7. Exemplo EXEMPLO 9: Os ângulos internos de um triângulo mede x + 5º, 8x – 10º e 50º. Qual é a medida de cada ângulo?

8. Ângulos externos Ângulo externo de um triângulo é todo ângulo suplementar aos seus ângulos internos. Na figura acima, os ângulos marcados em vermelho são os ângulos externos do triângulo.

9. Soma dos ângulos internos Teorema do Ângulo Externo A medida de um ângulo externo de um triângulo é a soma da medida dos ângulos internos não-adjacentes. Na figura acima, a soma das medidas dos ângulos rosas é igual à medida do ângulo verde.

10. Exemplo EXEMPLO 10: Determine o valor de x na figura abaixo e classifique o triângulo quanto aos ângulos.

11. Classificação por lados Quanto aos lados, podemos classificar os triângulos da seguinte maneira: Equilátero: tem os três lados de mesma medida. Isósceles: possui dois lados de mesma medida, sendo que o lado de medida diferente chama-se base. Escaleno: possui os três lados de medidas distintas.

12. Propriedades importantes Teorema do Triângulo Isósceles Os ângulos da base de um triângulo isósceles têm mesma medida.

13. Propriedades importantes Num triângulo equilátero, todos os ângulos medem 60º.

14. Pontos notáveis do triângulo Há três tipos de segmentos e uma reta relacionada com os triângulos que muito nos chamam a atenção. São eles: Mediana, bissetriz, altura e mediatriz. Contribuindo para a magia da Matemática, algumas intersecções relacionadas aos casos acima recebem nomes especiais por serem especiais. Baricentro, incentro, ortocentro e circuncentro.

15. Mediana Mediana é o segmento que une um vértice do triângulo com o ponto médio do seu lado oposto. CM é mediana relativa ao lado AB do triângulo, pois AM = MB

16. Baricentro O encontro das três medianas de um triângulo se dá em um único ponto, chamado baricentro.

17. Bissetriz Bissetriz é o segmento que une um vértice do triângulo com o seu lado oposto sendo bissetriz (como já definimos na primeira aula) do ângulo do vértice.

18. Incentro O encontro das três bissetrizes de um triângulo se dá em um único ponto, chamado incentro. I representa o incentro do triângulo acima. (repare na circunferência dentro do triângulo. Podemos voltar a esse assunto em outra aula mais oportuna).

19. Altura Altura é o segmento que une um vértice do triângulo com o seu lado oposto sendo perpendicular a ele. h é a altura do triângulo em relação à base b.

20. Ortocentro O encontro das três alturas de um triângulo se dá em um único ponto, chamado ortocentro.

21. Mediatriz Mediatriz é a reta que intercepta algum lado do triângulo em seu ponto médio perpendicularmente. mediatriz

22. Circuncentro O encontro das três mediatrizes de um triângulo se dá em um único ponto, chamado circuncentro. O é o circuncentro do triângulo, cujas mediatrizes estão também indicadas.

23. Resumo Baricentro  Medianas Incentro  Bissetrizes Ortocentro  Alturas Circuncentro  Mediatrizes Substitua a  acima pela frase “é o único ponto de encontro das”

24. Mediatriz Mediatriz é a reta que intercepta algum lado do triângulo em seu ponto médio perpendicularmente. mediatriz

25. Observações Fique atento!!!

26. Observação 1 Num triângulo isósceles, a mediana, a bissetriz, a altura e a mediatriz em relação à base coincidem. • - PS é mediana, bissetriz, altura e mediatriz em relação ao lado QR. • Além disso, já sabiamos que • PR = PQ, por definição; • Q e R são ângulos congruentes.

27. Observação 2 Num triângulo equilátero, a mediana, a bissetriz, a altura e a mediatriz em relação ao mesmo lado coincidem. Portanto, o baricentro, o incentro, ortocentro e o circuncentro coincidem • - Os segmentos que se interceptam em C são a mediana, a bissetriz, a altura e a mediatriz de cada lado coincidindo-se. • C é ponto de encontro do baricentro, do incentro, do ortocentro e do circuncentro. • Jà sabíamos que: • Seus ângulos internos medem 60º; • Seus lados são iguais, por definição. C

28. Observação 3 O baricentro de um triângulo cria uma proporção de 1:3 sobre cada mediana que a forma. Sendo G o baricentro do triângulo acima, temos: AG = 2.GN; BG = 2.GP; CG = 2.GM;

29. Valeu, galera! A Matemática não é algo mágico e ameaçadoramente estranho, mas sim um corpo de conhecimento naturalmente desenvolvido por pessoas durante um período de 5000 anos. Frank Swetz Robson Ricardo de Araujo robcardo@ig.com.br