GEOMETRIA

1. GEOMETRIA TRIANGOLI E PARALLELOGRAMMI

2. CONGRUENZA DEI TRIANGOLI E SUE CONSEGUENZE

3. FIGURE CONGRUENTI • Due triangoli sono congruenti se esiste un moviemnto rigido con il quale essi possono essere sovrapposti in modo da coincidere. • Questo movimento farà coincidere i vertici, i lati e gli angoli del primo triangolo con i vertici e gli angoli corrispondenti del secondo triangolo.

4. C C1 A B B1 A1 • ABC A1B1C1  AB  A1B1, AC A1C1, lati omologhi o corrispondenti BC C1B1, A A1, B B1, angoli corrispondenti C C1 Due triangoli sono congruenti se hanno i sei elementi (3lati e 3 angoli) rispettivamente congruenti (angoli congruenti sono opposti a lati congruenti e viceversa). Ma bastano 3 di queste relazioni di congruenza per dire che i triangoli sono congruenti.

5. PROPRIETA’ • L’inverso di un teorema è una proprietà

6. PRIMO CRITERIO DI CONGRUENZA • Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti due lati e l’angolo tra loro compreso, essi sono congruenti. • OSSERVAZIONE: ad angoli congruenti stanno opposti lati congruenti, e viceversa, a lati congruenti sono opposti angolicongruenti.

7. C C1 A B B1 A1 • IPOTESI: AC A1C1 lato AB  A1B1 lato CABC1A1B1 angolo • TESI: ABCA1B1C1 triangolo Bastano queste 3 relazioni (2 lati ed un angolo congruenti) per dimostrare che i due angoli sono uguali.

8. DIMOSTRAZIONE (verifica sperimentale) • Si parte dall’angolo: CABC1A1B1 • Se con un movimento rigido sovrappongo i due angoli, anche le due semirette (lati dei triangoli) si sovrapporranno. • La semiretta che contiene AC si sovrappone a quella che contiene A1C1. • AB si sovrappone ad A1B1. • Poiché AC è congruente ad A1C1 ed AB ad A1B1, Ccoincide con C1, il vertice B coincide con B1, è chiaro che il lato BC coincide e si sovrappone con B1C1. • Anche l’angolo in C1 coincide con C e B coincide con B1. • Quindi il triangolo ABC coincide con il triangolo A1B1C1.

9. TEOREMA • In un triangolo isoscele, gli angoli alla base sono congruenti. C IPOTESI: ACBC TESI: CABCBA A E B

10. DIMOSTRAZIONE • Si considera la bisettrice dell’angolo al vertice CE. • Consideriamo i due triangoli ACE e CBE, essi hanno: CE in comune CA CB per ipotesi ACEBCE per costruzione, poiché ho creato e tracciato la bisettrice • I due triangoli sono congruenti per il 1° criterio dei congruenza, perché hanno 3 elementi congruenti, 2 lati ed un angolo. Il triangolo ACE  CBE, quindi l’angolo CAB  ABC, C.V.D.(come volevasi dimostrare)

11. ANGOLI SUPPLEMENTARI • Gli angoli supplementari di uno stesso angolo o di angoli congruenti, sono congruenti tra loro. • Angoli supplementari di uno stesso angolo. i due angoli supplementari sono uguali π -   π -  π - 

12. Angoli supplementari di angoli congruenti, sono complementari tra loro. a b a1 b1   o o Angoli    Anche gli angoli supplementari π -  π -  saranno congruenti

13. PROPRIETA’ • Somme o differenze di angoli rispettivamente congruenti, sono congruenti.     •  +    +  •  -    - 

14. TEOREMA • Angoli opposti al vertice sono congruenti A B  O Angolo AOB Da dimostrare    •  e  sono supplementari dello stesso angolo AOB π- AOB=  π- AOB=  per la definizione di angoli supplementari • π  π AOB  AOB π-AOB  π- AOB    perché sono differenze di angoli congruenti

15. SECONDO CRITERIO DI CONGRUENZA • Se due triangoli hanno rispettivamente due angoli e il lato tra loro compreso congruenti, essi sono congruenti. C C1 D A B A1 B1 IPOTESI: Angolo A  A1 Angolo B  B1 AB A1B1 TESI: Triangolo ABC  A1B1C1

16. DIMOSTRAZIONE per assurdo • IPOTESI: vera • (Nego la TESI) non TESI: vera • Se ottengo una contraddizione o un assurdo…non potendo essere vera la non TESI, non TESI: falsa • Vuol dire che la TESI è vera • TESI: vera

17. DIMOSTRAZIONE 1. IPOTESI: lato AB  A1B1 angolo CAB  C1A1B1 angolo ABC  A1B1C1 TESI: triangolo ABC  A1B1C1 2. Nego la TESI: ABC non congruente a A1B1C1 ACA1C1 supponiamo che i leti siano diversi ACA1C1 supponiamo che uno dei due angoli sia maggiore dell’altro; esisterà un punto di AC, detto D, tale che AD sia congruente ad A1C1: AD  A1C1 Consideriamo il triangolo ABD e quello A1B1C1, essi hanno: AB  A1B1 per ipotesi CAB  C1A1B1 per ipotesi AD  A1C1 per costruzione Hanno due lati ed un angolo compreso congruenti: per il 1° criterio di congruenza. I rispettivi angoli opposti devono essere congruenti: angolo ABD  A1B1C1 perché angoli corrispondenti in triangoli congruenti.

18. Angolo CBA  C1B1A1 ABD  A1B1D1 per la proprietà transitiva della congruenza. • Ma angolo ABD  CBA è un ASSURDO perché l’angolo ABD è una parte di ABC, preché DB, la semiretta, è interna all’angolo ABC. • Resta dimostrata la verità della TESI. C C1 D A B A1 B1

19. 2° TEOREMA DELL’ANGOLO ESTERNO • E’ UNA PROPRIETA’ DEI TRIANGOLI • In ogni triangolo un angolo esterno è congruente alla somma dei due angoli interni ad esso “non adiacenti”. • La somma degli angoli interni di un triangolo qualuncue è congruente ad un angolo piatto. - gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono complementari. • in ogni triangolo equilatero ciascun angolo è congruente a 60°. • se due triangoli hanno due angoli rispettivamente congruenti hanno congruenti anche gli angoli rimanenti (per differenze di angoli congruenti)

20. Pag. 79 n° 17 • IPOTESI: ABC triangolo DAC angolo esterno • TESI: angolo DAC  angoli CAB + ACB • DIMOSTRAZIONE: Traccio un asemiretta di origine A parallela a BC e interna all’angolo CAD. Considero le rette AH//BC tagliate dalla trasversale BD. Esse formano: • gli angoli corrispondenti DAH e ABC  per la proprietà delle rette parallele. Considero le rette AH//BC tagliate dalla trasversale AC. Esse formano: • gli angoli alterni interni HAC e BCA  per la proprietà delle rette parallele. Essendo gli angoli DAC= angoli DAH+HAC allora, DAC  CBA + ACB perché somme di angoli congruenti.

21. LA SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI DI UN TRIANGOLO È CONGRUENTE A 180° • La conseguenza è che la somma degli angoli interni di un triangolo è congruente a 180° (pag. 80 n°18): • gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono complementari, per la proprietà del triangolo rettangolo; • In ogni triangolo equilatero ciascun angolo è congruente alla 3^ parte di un angolo piatto, per la proprietà del triangolo equilatero; • Se due triangoli hanno due angoli rispettivamente congruenti, hanno congruenti anche gli angoli rimanenti; per differenza di angoli congruenti. Di conseguenza: abbiamo il 2° criterio generalizzato

22. 2° CRITERIO GENERALIZZATO • Due triangoli aventi rispettivamente congruenti un lato e due angoli qualsiasi, purché ugualmente disposti, sono congruenti.

23. 1° CRITERIO DEL TRIANGOLO ISOSCELE • Sapendo che un triangolo ha 2 angoli congruenti, il triangolo è isoscele, per il 1° criterio

24. 2° CRITERIO DEL TRIANGOLO ISOSCELE • Sapendo che un triangolo ha 2 lati congruenti, il triangolo è isoscele, per definizione

25. 2^ PROPRIETA’ DEL TRIANGOLO ISOSCELE • In un triangolo isoscele la bisettrice dell’angolo al vertice è pure altezza e mediana relativa alla base.

26. 3^ PROPRIETA’ DEL TRIANGOLO ISOSCELE • In un triangolo isoscele la mediana alla base è pure altezza e bisettrice al vertice.

27. 4° PROPRIETÀ DEL TRIANGOLO ISOSCELE • In un triangolo isoscele l’altezza relativa alla base è anche mediana e bisettrice dell’angolo al vertice.

28. SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI DI UN POLIGONO • La somma degli angoli interni di un poligono convesso è congruente a tanti angoli piatti quanti sono i lati del poligono meno 2.

29. CONGRUENZA DI 2 TRIANGOLI RETTANGOLI Per essere congruenti devono avere: • un cateto  : secondo il 1° criterio • un cateto e l’angolo acuto adiacente  : per il 2° criterio • L’ipotenusa e un angolo acuto: per il 2° criteriogeneralizzato • un cateto e l’angolo acuto opposto: per il 2° criterio generalizzato • L’ipotenusa ed un cateto

30. PARALLELOGRAMMO • È un quadrilatero avente i lati opposti paralleli

31. PROPRIETA’ DEL PALALLELOGRAMMO • In ogni parallelogrammo: • Ciascuna diagonale divide il parallelogrammo in 2 triangoli congruenti • I lati opposti sono congruenti • Gli angoli opposti sono congruenti • Gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari • Le due diagonali hanno lo stesso punto medio

32. CRITERI DEL PARALLELOGRAMMO • In ogni parallelogrammo: • Se le diagonali hanno lo stesso punto medio • Se i lati sono congruenti • Se gli angoli opposti sono congruenti • Se gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari • Se ha due lati opposti congruenti e paralleli

33. PROPRIETA’ DEL QUADRATO E DEL RETTANGOLO • Parallelogramma avente 4 angoli retti

34. PROPRIETA’ DEL QUADRATO E DEL RETTANGOLO • Le diagonali sono congruenti • Il centro è equidistante dai vertici

35. CRITERIO DEL RETTANGOLO • Un parallelogramma, avente le diagonali congruenti, è un rettangolo