GEOMETRIA

1. GEOMETRIA PREPARAZIONE ALLA VERIFICA

2. NOTIZIE STORICHE • LA PAROLA GEOMETRIA DERIVA DAL GRECO E SIGNIFICA “MISURA DELLA TERRA” • FURONO TALETE DI MILETO E PITAGORA DI SAMO AD INTRODURRE IN GRECIA LE CONOSCENZE GEOMETRICHE DI EGIZIANI E BABILONESI.

3. MA FU EUCLIDE (3° SEC. A.C.), CON LA SUA OPERA ELEMENTI, A COSTITUIRE IL PUNTO DI PARTENZA PER L’INSEGNAMENTO ELEMENTARE DELLA GEOMETRIA, CHE ANCORA OGGI VIENE CHIAMATA “GEOMETRIA EUCLIDEA”. • LA GEOMETRIA DIVENTA UNA SCIENZA.

4. CONCETTI ED ENTI PRIMITIVI • NON SI POSSONO DEFINIRE CON IDEE PIU’ ELEMENTARI E SONO ESPRESSI DA PAROLE IL CUI SIGNIFICATO E’ NOTO A TUTTI. NON ABBIAMO BISOGNO DI DEFINIRLI • SONO CONCETTI PRIMITIVI: 1. MOVIMENTO RIGIDO, 2. APPARTENENZA • SONO ENTI PRIMITIVI: 1. PUNTO, 2. RETTA, 3. PIANO, 4. SPAZIO

5. PUNTO: lo indico con la letterea maiuscola. .A .B .C .D • RETTA: è un insieme di punti ed è ottenuta utilizzando il righello. La indico con lettere minuscole. r • PIANO: è come un foglio di carta, ma con lunghezza e larghezza indefinite. Lo indico con , ,  . • SPAZIO:è tutto ciò che ci circonda

6. DEFINIZIONI • tutti i termini che vengono usati acquistano un ben preciso significato. • serviranno per esprimere alcuni concetti, ricorrendo ad altri concetti o enti precedentemente definiti.

7. POSTULATI O ASSIOMI • sono affermazioni che esprimono delle proprieta’ evidenti, suggerite dalla nostra intuizione e dalla nostra esperienza. • per esempio: per due punti passa una ed una sola retta.

8. RAGIONAMENTO • E’ l’elaborazione, fatta dal pensiero, dei dati forniti dall’intuizione e dall’esperienza.

9. TEOREMI • Lo spazio ha delle proprieta’ che sono meno evidenti e che per essere accettate devono essere dimostrate. • Le considerazioni logiche che si devono fare, partendo dai concetti primitivi e postulati introdotti, per arrivare al teorema proposto, sono le dimostrazioni del teorema.

10. COROLLARI • Sono le proposizioni che sono conseguenza immediata di un teorema.

11. APPLICAZIONI DELLA LOGICA ALLA GEOMETRIA • Si utilizzano in geometria i seguenti principi fondamentali della logica: • PRINCIPIO D’IDENTITA’: Ogni ente e’ identico a se stesso; 2. PRINCIPIO DI NON CONTRADDIZIONE: Una proposizione non puo’ essere contemporaneamente vera e falsa;

12. 3. PRINCIPIO DEL TERZO ESCLUSO: Una proposizione o e’ vera o e’ falsa; 4. PROPRIETA’ TRANSITIVA DELL’IMPLICAZIONE: Se una proposizione ne implica una seconda e questa a sua volta ne implica una terza, allora anche la prima implica la terza. Es. (P1P2)  (P2P3) (P1  P3)

13. TEOREMI • Si puo’ definire come una implicazione logica tra due predicati detti ipotesi (i) e tesi (t), che deve essere verificata. I  T L’ENUNCIATO Esprime il contenuto dell’implicazione logica da verificare e puo’ essere vero o falso. L’IPOTESI Esprime quello che si suppone essere vero.

14. LA TESI Esprime quello che si deve verificare; LA DIMOSTRAZIONE E’ il processo deduttivo che porta ad affermare la verita’ della tesi tutte le volte che si verifica l’ipotesi.

15. DIMOSTRAZIONE DIRETTA • Il ragionamento che dalla verita’ dell’ipotesi conduce alla verita’ della tesi e’ la dimostrazione e tiene conto dei postulati, dei teoremi precedenti, e della proprieta’ transitiva dell’implicazione logica.

16. QUANDO UN TEOREMA SI SIMOSTRA SECONDO QUESTO PROCEDIMENTO SI DICE CHE SI E’ FATTA UNA DIMOSTRAZIONE DIRETTA. • Es. un numero naturale divisibile per 6 e’ divisibile anche per 3. I  T • I: n è divisibile per 6 n  N • T: n è divisibile per 3 • N divisibile per 6  n divisibile per 3

17. DIMOSTRAZIONE DIRETTA DI UN TEOREMA • IPOTESI vera • RAGIONAMENTI LOGICI • TESI vera

18. TEOREMI DERIVATI • Data l’implicazione I T, che supponiamo vera e che chiamiamo TEOREMA DIRETTO: • TEOREMA RECIPROCO O INVERSO (non è sempre vero) T  I • TEOREMA CONTRARIO T negato I • TEOREMA CONTRONOMINALE T negato I negato

19. Se I T e T I sono entrambi vere, allora IT si equivalgono. Se il teorema diretto è vero ed è vero anche il reciproco, allora Ipotesi e Tesi si equivalgono.

20. DIMOSTRAZIONE PER ASSURDO DI UN TEOREMA (METODO INDIRETTO) • Vogliamo dimostrare l’implicazione I  T • Supponiamo vera l’ipotesi I • Supponiamo vera la negazione della tesi (si nega la tesi) T negato • Dimostro per via diretta che T negato  I negato sono vere. Ma avrei II negato vere entrambi: ciò non è possibile, è un ASSURDO.

21. Risultano vere I e I negato: dalla verità di T negato segue la verità di I negato, quindi I non può essere contemporanenamente vera e falsa. • E’ sbagliato aver supposto T negato vera, quindi T è vera. 6. T vera: il teorema è domostrato.

22. DIMOSTRAZIONE PER ASSURDO DI UN TEOREMA • IPOTESI I  T vera • NEGAZIONE DELLA TESI T negato vera • RAGIONAMENTI LOGICI T negato  I negato = II negatoASSURDO (per il principio di non contraddizione) • NEGAZIONE T negato falsa • TESI T vera

23. TEOREMI DERIVATI • DATO IL TEOREMA VERIFICATO I  T DETTO TEOREMA DIRETTO, SI POSSONO RICAVARE ALTRE TRE IMPLICAZIONI: • TEOREMA RECIPROCO O INVERSO: T  I; • TEOREMA CONTRONOMINALE: non T  I; 3. TEOREMA CONTRARIO: non I  non T

24. TEOREMA RECIPROCO O INVERSO • IL TEOREMA RECIPROCO NON E’ SEMPRE VERO. Es. • se x è un angolo ottuso, allora è maggiore della metà di un angolo retto; (non è vero) • Se x è un angolo maggiore di un angolo retto allora il doppio di x è maggiore di un angolo piatto. (vero)

25. COIMPLICAZIONE LOGICA • QUANDO UN TEOREMA I  T È VERO ANCHE L’INVERSO, T  I , SI HA LA COIMPLICAZIONE LOGICA I  T E I DUE PREDICATI (I) E (T) SI DICONO EQUIVALENTI.

26. TEOREMA CONTRONOMINALE • E’ SEMPRE VERO, QUINDI E’ VERO ANCHE IL TEOREMA DIRETTO. • LA PRIMA LEGGE DELLE INVERSE: SE UN TEOREMA E’ VERO, ALLORA E’ VERO ANCHE IL SUO CONTRONOMINALE E VICEVERSA.

27. TEOREMA CONTRARIO • NON E’ SEMPRE VERO. DATO IL TEOREMA CONTRARIO I  T L’IMPLICAZIONE non I  non T, E’ VERA SOLO SE, E SOLO SE, E’ VERO IL TEOREMA I  T , CIOE’ IL TEOREMA INVERSO DEL TEOREMA DATO.

28. SECONDA LEGGE DELLE INVERSE • SE SONO VERI I TEOREMI: I T , I1 T1 ,I2 T2 , In Tn … SE LE TESI SI ESCLUDONO A VICENDA, ALLORA SONO VALIDI I RECIPROCI TEOREMI: T  I , T1  I1 , T2  I2 , Tn  In …

29. NOZIONI FONDAMENTALI DI GEOMETRIA RAZIONALE

30. CONCETTI PRIMITIVI • SONO QUELLI DEI QUALI NON SI DA ALCUNA DEFINIZIONE • ESSI SONO: PUNTO, RETTA, PIANO E SPAZIO.

31. FIGURA • SI DEFINISCE FIGURA UN INSIEME, NON VUOTO, DI PUNTI. • ANCHE UN SINGOLO PUNTO COSTIUTUISCE UNA FIGURA GEOMETRICA.

32. LO SPAZIO • E’ L’INSIEME DI TUTTI I POSSIBILI PUNTI E SI PUO’ CONSIDERARE COME LA FIGURA CHE CONTIENE TUTTI I PUNTI E QUINDI TUTTE LE FIGURE.

33. LA LINEA • E’ UN INSIEME DI PUNTI

34. LA RETTA • È UNA LINEA TRACCIATA CON LA RIGA E PROLUNGATA INDEFINITAMENTE COL PENSIERO DA UNA PARTE E DALL’ALTRA.

35. LA SUPERFICIE • SI PUO’ CONSIDERARE COME GENERATA DA UNA LINEA CHE SI MUOVE, MA PRIVA DI SPESSORE.

36. SUPERFICIE PIANA • SI PUO’ IMMAGINARE COME UN FOGLIO ESTESO INDEFINITAMENTE IN TUTTE LE DIREZIONI.

37. POSTULATI FONDAMENTALI • SONO PROPOSIZIONI CHE ESPRIMONO PROPRIETA’ DEGLI ENTI GEOMETRICI CHE SI CHIEDONO DI ACCETTARE PER VERE SENZA DIMOSTRAZIONE (verità evidenti). • I PRIMI POSTULATI SONO. • LO SPAZIO CONTIENE INFINITI PUNTI, INFINITE RETTE E INFINITI PIANI, • UN PIANO CONTIENE INFINITI PUNTI E INFINITE RETTE, • UNA RETTA CONTIENE INFINITI PUNTI.

38. POSTULATI DI APPARTENENZA • DUE PUNTI DISTINTI APPARTENGONO A UNA E A UNA SOLA RETTA. • PER DUE PUNTI DISTINTI PASSA UNA E UNA SOLA RETTA. Ar, Br, Cr C A B r

39. SE TRE O PIU’ PUNTI APPARTENGONO A UNA STESSA RETTA SI DICE CHE ESSI SONO ALLINEATI. A B C r

40. TRE PUNTI NON ALLINEATI APPARTENGONO A UNO E A UN SOLO PIANO. • PER TRE PUNTI NON ALLINEATI PASSA UNO E UN SOLO PIANO. • TRE PUNTI NON ALLINEATI INDIVIDUANO UN PIANO E UNO SOLO. B r A C 

41. SE DUE PUNTI DI UNA RETTA APPARTENGONO AD UN PIANO, ALLORA LA RETTA E’ CONTENUTA O GIACE NEL PIANO. A, B , C , Ar, B r, r  B r A C 

42. IL POSTULATO D’ORDINE • SI PUO’ STABILIRE UNA RELAZIONE D’ORDINE TRA I PUNTI DI UNA RETTA, OSSIA SI POSSONO ORDINARE I PUNTI DI UNA RETTA IN MODO CHE: dati due punti distinti A e B della retta, o A precede B oppure B precede A; se A precede B e B precede C, allora A precede C (proprietà transitiva). Quando su una retta è fissato un verso si parla di RETTA ORIENTATA. A B C

43. PROPRIETA’ • PROPRIETA’ RIFLESSIVA A=A • PROPRIETA’ SIMMETRICA A=B allora B=A • PROPRIETA’ TRANSITIVA Se A=B e B=C allora A=C

44. PROPRIETA’ DELLA RETTA • La RETTA è ILLIMITATA, non esiste ne’ un primo, ne’ un ultimo punto B A

45. DEFINIZIONE DI SEMIRETTA • DATA UNA RETTA ORIENTATA r E UN SUO PUNTO QUALSIASI O , SI CHIAMA SEMIRETTA DI ORIGINE O L’INSIEME COSTITUITO DAL PUNTO O STESSO E DAI PUNTI DI r CHE PRECEDONO O SEGUONO O NEL VERSO FISSATO. semiretta O semiretta

46. IL PUNTO O  r E DETERMINA DUE SEMIRETTE, INOLTRE E’ ORIGINE DI CIASCUNA DI ESSE. • LE DUE SEMIRETTE SONO TRA LORO OPPOSTE (HANNO LA STESSA ORIGINE, MA DIREZIONI DIVERSE). • LE DUE SEMIRETTE SONO L’UNA IL PROLUNGAMENTO DELL’ALTRA. • I PUNTI DI UNA SEMIRETTA DIVERSI DALL’ORIGINE SI DICONO INTERNI, QUELLI CHE NON LE APPARTENGONO SI DICONO ESTERNI.

47. DEFINIZIONE DI SEGMENTO • SI DEFINISCE SEGMENTO DI ESTREMI A E B L’INSIEME COSTITUITO DAI PUNTI A E B E DA TUTTI I PUNTI DELLA RETTA AB COMPRESI TRA A E B. A B

48. IL SEGMENTO DI ESTREMI A E B SI INDICA CON AB; • I SUOI PUNTI, DIVERSI DAGLI ESTREMI, SI DICONO PUNTI INTERNI, MENTRE I PUNTI CHE NON APPARTENGONO AL SEGMENTO SI DICONO ESTERNI. • SE A E B COINCIDONO (A B) IL SEGMENTO E’ NULLO.

49. PER DISTANZA TRA A E B SI INTENDE IL SEGMENTO DI ESTREMI A E B. • QUANDO UN SEGMENTO AB E’ SU UNA RETTA ORIENTATA, ANCHE I PUNTI DEL SEGMENTO AB RISULTANO ORDINATI. SI PARLA ALLORA DI SEGMENTO ORIENTATO. • SE IL PUNTO A PRECEDE B, IL SEGMENTO SI INDICA CON AB. • IL PUNTO A E’ DETTO ORIGINE, MENTRE B E’ DETTO ESTREMO. A B

50. DUE SEGMENTI AVENTI IN COMUNE SOLAMENTE UN ESTREMO SI DICONO CONSECUTIVI A B C • DUE SEGMENTI CONSECUTIVI (AB E BC) SITUATI SULLA MEDESIMA RETTA SI DICONO ADIACENTI A B C IL SEGMENTO AC, DI CUI B RISULTA PUNTO INTERNO, SI DICE SOMMA DEI DUE SEGMENTI DATI E SI SCRIVE AB+BC = AC