Goniometrické funkce Řešení pravoúhlého trojúhelníku

1. Goniometrické funkceŘešení pravoúhlého trojúhelníku Matematika – 9. ročník

2. Goniometrické funkceSinus ostrého úhlu · · · · a platí: Poměr délky odvěsny protilehlé k úhlu aa délky přepony je ve všech trojúhelnících se stejným ostrým úhlem a stejný. Tento poměr nazýváme sinus a a zapisujeme

3. Goniometrické funkceKosinus ostrého úhlu · · · · a platí: Poměr délky odvěsny přilehlé k úhlu aa délky přepony je ve všech trojúhelnících se stejným ostrým úhlem a stejný. Tento poměr nazýváme kosinus a a zapisujeme

4. Goniometrické funkceTangens ostrého úhlu · · · · a platí: Poměr délky odvěsny protilehlé k úhlu aa délky odvěsny přilehlé k úhlu a je ve všech trojúhelnících se stejným ostrým úhlem a stejný. Tento poměr nazýváme tangens a a zapisujeme

5. Goniometrické funkceKotangens ostrého úhlu · · · · a platí: Poměr délky odvěsny přilehlé k úhlu aa délky odvěsny protilehlé k úhlu a je ve všech trojúhelnících se stejným ostrým úhlem a stejný. Tento poměr nazýváme kotangens a a zapisujeme

6. Goniometrické funkceŘešení pravoúhlého trojúhelníku Za pomoci goniometrických funkcí v libovolném pravoúhlém trojúhelníku můžeme vypočítat délky zbývajících stran a velikostí vnitřních úhlů tj. „řešit pravoúhlý trojúhelník“, známe-li: a) délky dvou stran, b) délky jedné strany a velikost jednoho vnitřního úhlu. Zatím jsme uměli vypočítat v prvním případě délky stran (Pythagorova věta), ale ne úhlů, v druhém případě velikosti vnitřních úhlů (jejich součet je 180°), ale ne délky stran.

7. Goniometrické funkceŘešení pravoúhlého trojúhelníku V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C známe Vypočtěte délku zbývající strany a velikosti vnitřních úhlů. A Délku přepony můžeme určit pomocí Pythagorovy věty, ale abychom se procvičili použijeme některou z goniometrických funkci. Můžeme si vybrat sinus nebo kosinus. Poněvadž známe délky obou odvěsen můžeme použít pro výpočet velikosti vnitřních úhlů funkce tangens nebo kotangens. a Velikost druhého vnitřního úhlu vypočítáme snadno. b · B C

8. Goniometrické funkceŘešení pravoúhlého trojúhelníku V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C známe Vypočtěte délku zbývající strany a velikosti vnitřních úhlů. A Délku odvěsny můžeme určit pomocí Pythagorovy věty, ale abychom se procvičili použijeme některou z goniometrických funkci. Můžeme si vybrat kosinus (cos ) nebo sinus (sin ). Poněvadž známe délku přepony a odvěsny můžeme použít pro výpočet velikosti vnitřních úhlů funkce sinus nebo kosinus. a Velikost druhého vnitřního úhlu vypočítáme snadno. b · B C

9. Goniometrické funkceŘešení pravoúhlého trojúhelníku V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C známe Vypočtěte délky zbývajících stran a velikost třetího vnitřního úhlu. A Poněvadž známe délku přepony a velikosti obou vnitřních úhlů můžeme použít pro výpočet délky zbývajících stran funkce sinus nebo kosinus. Délku odvěsny můžeme určit pomocí Pythagorovy věty, ale abychom se procvičili použijeme některou z goniometrických funkci. Můžeme si vybrat sinus (sin) nebo kosinus (cos). a Velikost druhého vnitřního úhlu vypočítáme snadno. b · B C

10. Goniometrické funkceŘešení pravoúhlého trojúhelníku V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C známe Vypočtěte délky zbývajících stran a velikost třetího vnitřního úhlu. A Poněvadž známe délku odvěsny a velikosti obou vnitřních úhlů můžeme použít pro výpočet délky zbývajících stran libovolné goniometrické funkce, podle toho zda budeme počítat druhou odvěsnu (funkce tangens nebo kotangens) či přeponu (funkce sinus nebo kosinus). Délku přepony můžeme určit pomocí Pythagorovy věty, tak to také jednou zkusíme. |AB|2=|BC|2+|AC|2 a Velikost druhého vnitřního úhlu vypočítáme snadno. b · B C

11. Goniometrické funkceŘešení pravoúhlého trojúhelníku Sestrojte bez úhloměru úhel o velikosti 72°. C Vnitřní úhel BAC () je 72°, protože: Využijeme funkci tangens Určíme si tg 72° tg 72° = 3,078 Sestrojíme pravoúhlý trojúhelník, jehož odvěsny mají délku 10 jednotek (libovolných) a 30,78 jednotek (stejných). 30,78 j · a A B 10 j

12. Řešení pravoúhlého trojúhelníkuCvičení 1 Pravoúhlý trojúhelníku ABC má pravý úhel u vrcholu C. Vypočítejte velikost jeho ostrých úhlů, je-li dáno: a = 62 mm, b = 37 mm. a = 59°; b = 31°

13. Řešení pravoúhlého trojúhelníkuCvičení 2 Pravoúhlý trojúhelníku ABC má pravý úhel u vrcholu C. Vypočítejte velikost jeho ostrých úhlů, je-li dáno: a = 36 mm, c = 58 mm. a = 38°; b = 52°

14. Řešení pravoúhlého trojúhelníkuCvičení 3 Pravoúhlý trojúhelníku ABC má pravý úhel u vrcholu C. Vypočítejte výšku na přeponu, je-li dáno: a = 6,4 cm, b = 5,2 cm. v = 4 cm

15. Řešení pravoúhlého trojúhelníkuCvičení 4 V obdélníku ABCD vypočítejte velikost úhlu, který svírá úhlopříčka a strana a, je-li dáno: a = 62 mm, b = 34 mm. a = 29°

16. Řešení pravoúhlého trojúhelníkuCvičení 5 V obdélníku ABCD je dáno: a = 63 mm, b = 25 mm a body E a F rozdělují stranu CD na třetiny. Vypočítejte velikost vnitřních úhlů trojúhelníku AEF. 19°, 31°, 130°

17. Řešení pravoúhlého trojúhelníkuCvičení 6 Vypočítejte velikost vnitřních úhlů rovnoramenného trojúhelníku, je-li dáno: délka ramene 8,5 cm a výška na základnu 6,8 cm. a = b = 53°, g = 74°

18. Řešení pravoúhlého trojúhelníkuCvičení 7 Ve čtverci ABCD (a = 8 cm) je bod E střed strany BC a bod F střed strany CD. Vypočítejte velikost vnitřních úhlů trojúhelníku AEF. 37°,°71°30´, 71°30´

19. Řešení pravoúhlého trojúhelníkuCvičení 8 V pravoúhlém lichoběžníku ABCD jsou aac a b = 90°. Vypočítejte velikost úhlu a, je-li dáno: a = 10,6 cm, b = 7,1 cm, d = 8,9 cm. a = 53°

20. Řešení pravoúhlého trojúhelníkuCvičení 9 Jak velký středový úhel přísluší tětivě dlouhé 64 mm, která je sestrojena v kružnici o poloměru 10 cm? a = 37°

21. Řešení pravoúhlého trojúhelníkuCvičení 10 Z bodu R jsou sestrojeny tečny ke kružnici o průměru 72 mm. Úhel, který svírají, má velikost 72°.Vypočítejte vzdálenost bodu R od středu kružnice. 61 mm