Le funzioni

1. Le funzioni

2. Definizione: Le funzioni sono uno dei concetti più importanti della matematica. Ma che cosa è una funzione? Possiamo intenderla come un apparecchio di Input-Output. Prende un oggetto come Input e fornisce un oggetto come Output. E questo avviene secondo una precisa (univoca) relazione. Per noi "oggetto" per adesso significa "numero". Quindi una funzione per noi per ora è una macchina che prende un numero come Input e lo  trasforma in un numero come Output. Ecco una macchina del genere:

3. La macchina eleva al quadrato il numero dato. L'idea è di assegnare a ciascun numero il suo quadrato. La relazione è dunque "elevare al quadrato". Così abbiamo definito una funzione. Potremmo chiamarla "funzione quadrato". • Per scrivere le funzioni in matematica esistono 2 notazioni: • Quella con la freccia f: x -> x2 • Quella con l’uguale f(x)= x2

4. Definizione di funzione: Dati due insiemi A e B, si dice funzione (f: A B) una relazione di natura qualsiasi tale che ad ogni elemento di A associa uno ed uno solo elemento di B Si possono considerare funzioni anche per oggetti matematici diversi dai numeri. Per definire una funzione abbiamo bisogno di due insiemi che chiamiamo A e B. Noi ci occuperemo e studieremo solo funzioni numeriche ovvero funzioni reali di variabile reale 3 4 5 7 16 9 49 25 1 A B C DE 3 2 5 4 1

5. Ogni volta che il valore di una grandezza dipende dal valore di un'altra grandezza, si ha una funzione. La natura e la nostra vita sono piene di questo tipo di dipendenze

6. Una funzione da A in B si dice iniettiva se ad elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B.Si può anche scrivere"x1,x2ÎA x1¹x2Þf(x1)¹f(x2) Se la funzione è iniettiva noto un elemento di arrivoyÎB da questo è possibile risalire in modo univoco all'elemento  xÎA Funzioni iniettive: Una funzione da A in B si dice iniettiva se ad elementi distinti di A (Dominio) corrispondono elementi distinti di B (Codominio).Si può anche scriverex1≠x2  A -> f(x1) ≠ f(x2)  B

7. Una funzione da A in B si dice iniettiva se ad elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B.Si può anche scrivere"x1,x2ÎA x1¹x2Þf(x1)¹f(x2) Se la funzione è iniettiva noto un elemento di arrivoyÎB da questo è possibile risalire in modo univoco all'elemento  xÎA Funzioni suriettiva: Una funzione da A a B si dice suriettiva se ogni elemento di B è immagine di  almeno un elemento di A. Ogni elemento del codomino deve avere almeno un corrispondente nel dominio

8. Una funzione da A in B si dice iniettiva se ad elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B.Si può anche scrivere"x1,x2ÎA x1¹x2Þf(x1)¹f(x2) Se la funzione è iniettiva noto un elemento di arrivoyÎB da questo è possibile risalire in modo univoco all'elemento  xÎA Funzioni biettiva: Una funzione da A a B che sia contemporaneamente iniettiva e suriettiva viene detta  corrispondenza biunivoca. Ad ogni elemento del dominio corrisponde uno e uno solo elemento del codominio

10. cosa succede se dobbiamo risolvere delle disequazioni in cui una o più espressioni contenenti l’incognita compaiono in valore assoluto? Per risolvere queste disequazioni è necessario studiare prima di tutto il segno di ciascuna espressione in cui compare il valore assoluto i valori che si possono attribuire all’incognita restano divisi in intervalli, in base al valore assoluto, e l’equazione data assume “forma diversa” nei suddetti intervalli

11. Esempio disequazione con valore assoluto: studiamo l’espressione con il v.a. |x-1|>4-2x Quando |x-1|>=0 ossia x>=1 il valore assoluto valex-1 quando |x-1|<0 ossia x<1 il valore assoluto vale-x+1 quindi |x-1| assume valori diversi nei due intervalli 1 -x+1 x+1 e di conseguenza anche l’equazione assume “forme diverse” in ciascuno di questi intervalli: Quando x>=1 l’equazione diventa x - 1 > 4 - 2x quando x<1 l’equazione diventa - x + 1 > 4 - 2x

12. Perciò risolvere l’equazione con il valore assoluto |x-1|>4-2x vuol dire risolvere due sistemi, contenenti le “forme diverse” dell’equazione negli intervalli determinati dal v.a. e la soluzione finale si ottiene unendo le soluzioni dei due sistemi

13. e se i valori assoluti nella disequazione sono due oppure più di due? Niente paura.. il ragionamento da seguire non cambia!! Si studiano i singoli v.a., si ricavano le “forme diverse” di equazioni e si ricavano i sistemi da risolvere!! Occhio, però, i sistemi da risolvere aumentano! L’unione di tutte le soluzioni dei sistemi determinerà la soluzione finale!

14. http://precorso.dicom.uninsubria.it/lezioni/funzioni.htm#WasisteineFunktionhttp://precorso.dicom.uninsubria.it/lezioni/funzioni.htm#WasisteineFunktion