Probabilitas dan Statistika BAB 6 Distribusi Teoritis Variabel Acak Kontinu

1. ProbabilitasdanStatistikaBAB 6 DistribusiTeoritisVariabelAcakKontinu

2. PokokBahasan • Distribusi Normal • LuasdiBawahKurva Normal • Hampiran Normal terhadap Binomial • Distribusi Gamma danEksponensial • DistribusiKhi-Kuadrat • DistribusiWeibull

3. Distribusi Normal Distribusisuatu data darisebuah sample yang memilikikurva normal (normal curve) yang berbentuklonceng. Ditemukanoleh Abraham DeMoivere (1733). Seringdisebutdistribussi Gauss (Gaussian distribution)

4. Distribusi NormalFungsi • FungsiPenuhpeubahacak normal X, denganrataan (mean) µdanvariansiσ2adalah • Dengan : 3,14159… dane=2,71828…

5. Distribusi NormalKurva Normal

6. Distribusi NormalKarakteristikkurva normal • Kurvaberbentukgenta (= Md= Mo) • Kurvaberbentuksimetris • Kurvamencapaipuncakpadasaat X=  • Luasdaerahdibawahkurvaadalah 1; ½ disisikanannilaitengahdan ½ disisikiri

7. Distribusi NormalJenisjenisdistribusi normal • Distribusikurva normal dengan samadan  berbeda

8. Distribusi NormalJenisjenisdistribusi normal • Distribusikurva normal dengan berbedadan  sama

9. Distribusi NormalJenisjenisdistribusi normal • Distribusidengan dan  yang berbeda

10. a  b x Luas Di BawahKurva Normal • Luasdibawahkurva normal denganbatas x1=a dan x2 = b

11. Luas Di BawahKurva Normal • P(x1 < X < x2) = = • Integral diatastidakdapatdiselesaikansecaraanalitis. Untukmemudahkanperhitungantersediatabel normal yang berisikanluasdibawah area kurva normal baku

12. Standardize theNormal Distribution Normal Distribution Standardized Normal Distribution One table!

13. Obtaining the Probability Standardized Normal Probability Table (Portion) .02 .0478 0.1 .0478 Shaded area exaggerated Probabilities

14. ExampleP(X 8) Normal Distribution Standardized Normal Distribution .5000 .3821 .1179 Shaded area exaggerated

15. Q-function: Tail of Normal Distribution Q(z) = P(Z > z) = 1 – P[Z < z]

17. Contoh 1 • DiketahuinilaimatakuliahProbabilitasdanStatistikakelas C, berdistribusi normal dengan mean  = 55 dandeviasistandar = 15. Tentukannilaipeluang • 55 ≤ X ≤ 75 • 60 ≤ X ≤ 80 • X ≤ 40

18. Answer Atau

19. b) atau :

20. c)

21. Contoh 2 Tinggibadanmahasiswa UGM berdistribusi normal denganrata-rata 165 cm dandeviasistandar 10 cm. Tentukanberapaproblabilitasmahasiswa UGM dengantinggilebihdari 180 cm? Answer: P(X>180) Z=X-/ 180-165/102,5 Dengantabeldidapatbahwapeluangnyaadalah : 0,9938 Makabesarnyapeluangnyaadalah  1 - 0,9938 = 0,0062

22. Contoh 3 Diketahui rata-rata hasiladalah 74dengansimpanganbaku 7. Jikanilai-nilaipesertaujianberdistribusi normal dan 12% pesertanilaitertinggimendapatnilai A, berapabatasnilai A yang terendah ?

23. answer

24. Hampiran Normal Terhadap Binomial • Persamaandistribusi binomial b(x;n,p) Review :  = simpangan  = rataan • Distribusi Normal :  = npdan denganq= (1-p)

25. Hampiran normal paling bergunadalamperhitungandengannilai n yang besar • Ex: peluang yang tepatdiberikanoleh

26. Untukhampiran normal : x1= 6,5 dan x2 = 9,5 • Selanjutnya =P(Z<1,85)-P(Z<0,26) =0,9678 – 0,6026 =0,3652 • Hasilinimendekatidenganhasil yang sebenarnya

27. Soallatihan • Peluangseorangmahasiswasembuhdari hepatitis A adalah 0,4. Bilaada 100 mahasiswa yang terkenapenyakitini, berapapeluangbahwakurangdari 30 mhs yang sembuh. • Saat UM UGM terdapat 200 soalpilihangandadengan 4 pilihandanhanya 1 pilihan yang benar. Seorangsiswamengerjakansoaltanpamembacasoalsedikitpun, berapapeluangsiswatadimenjawab 25 sampai 30 soaldenganbenaruntuk 80 dari 200 soal???

28. Penyelesaian : Misal : peubah binomial X menyatakanbanyaknyapenderita yang sembuh, Karenan = 100 maka µ = np= 100 x 0,4 = 40 Dan Untukmendapatkanpeluang yang dicaridigunakan x= 29,5 Peluang < 30 pasien yang sembuhdari 100 pasien : P(X<30) ≈ P(Z < ─2.14) = 0,0162

29. Distribusi Gamma • Fungsi gamma didefinisikan sebagai: • Untuk • Jadi • Sifat penting fungsi gamma :

30. Jika di integralkan per bagian (parsial) dengan Diperoleh Maka Jadi diperoleh

31. Dengan formula (rumus) berulang diperoleh : : dan seterusnya Jika dengan bilangan n bulat positif, maka

32. Distribusi GammaContohGambar

33. Distribusi Gammafungsi-fungsi • Perubah acak kontinu X berdistribusi gamma dengan parameter dan , jika fungsi kepadatan probabilitasnya : • Sedangkan fungsi distribusi kumulatif Gamma adalah :

34. Distribusi GammaStatistikDeskriptif • Mean (Nilai harapan) • Varians • Kemencengan (skewness) • Keruncingan (kurtosis)

35. Distribusi GammaDistribusi Gamma Standar • Ketikaβ = 1, diperolehsuatudistribusi gamma standar. MakajikaX adalahvariabelacakkontinudaridistribusi gamma standar, fungsikepadatanprobabilitasnyaadalah : • Sedangkanfungsidistribusikumulatif gamma standar :

36. Distribusi GammaDistribusi Gamma Standar • UntuksebuahsebuahvariabelacakkontinuX yang memilikidistribusi gamma dengan parameter αdanβberlakuhubungan :

37. Distribusi GammaContohSoal • MisalvariabelacakkontinuXmenyatakanketahanansuatubantalanpeluru (dalamribuan jam) yang diberipembebanandinamikpadasuatuputarankerjatertentumengikutisuatudistribusi gamma denganα = 8 danβ = 15. Berapakahprobabilitassebuahbantalanpelurudapatdigunakanselama 60 ribusampai 120 ribu jam denganpembebanandinamikpadaputarankerjatersebut? Sebutkanjugastatistikdeskriptifdistribusi gamma-nya.

38. Distribusi GammaJawaban • Mean : • Varians : • Kemencengan : • Keruncingan :

39. DistribusiEksponensial

40. Perubah acak kontinu X terdistribusi eksponensial dengan parameter, , jika fungsi padatnya berbentuk : • Distribusi gamma yang khusus dengan disebut distribusi Eksponensial • Rata-rata dan variansi distribusi eksponensial :

41. Khikuadrat • Distribusi ini adalah kasus spesial dari distribusi gamma : • Laludisubstitusidengan : • Menjadi :

42. Khikuadrat • Parameter V merupakanderajatkebebasan • Rataandistribusi chi kuadrat : • Variansidistribusi chi kuadrat :

43. DistribusiWeibull • Perubah acak kontinu X terdistribusi Weibull dengan parameter , jika fungsi padatnya berbentuk: • Fungsi distribusi kumulatif Weibull :

44. DistribusiWeibullContohgambar

45. DistribusiWeibullMean danVarians • Rata-rata : • Variansi : • Seperti distribusi gamma dan eksponensial, distribusi weibull juga dipakai pada persoalan keandalan dan pengujian panjang umur misal misal panjang umur suatu komponen, diukur dari suatu waktu tertentu sampai rusak.

46. DistribusiWeibullContohSoal • Waktusampaigagalbekerjanyasebuahpelatgesek (dalam jam) padasebuahkoplingdapatdimodelkandenganbaiksebagaisebuahvariabelacakWeibulldenganα = 0,5 danβ = 5000. Hitunglahwaktusampai-gagal rata-rata daripelatgesektersebutdanhitunglahprobabilitaspelatgesektersebutakanmampubekerjasekurang-kurangnya 6000 jam.

47. DistribusiWeibullJawaban • Rata-rata waktusampai-gagal