Distribusi Probabilitas

Distribusi Probabilitas Dr Adi Setiawan

Distribusi Probabilitas • Variabel acak (random variable) : variabel yang memiliki sebuah nilai numerik tunggal untuk setiap keluaran dari sebuah eksperimen probabilitas • Variabel acak diskrit : variabel acak yang memiliki nilai yang dapat dicacah (countable) • Variabel acak kontinu : variabel acak yang memiliki nilai yang tak terhingga banyaknya sepanjang sebuah interval yang tidak terputus

Jika sebuah eksperimen probabilitas mempunyai keluaran yang mungkin dari variabel acak diskrit x1, x2, , xn dan didaftarkan nilai probabilitas yang berkaitan yaitu P(X = x1) = p(x1), , P(X = xn) = p(xn) maka akan terbentuk distribusi probabilitas diskrit dari variabel acak X • Aturan suatu fungsi merupakan suatu fungsi probabilitas : 1 Nilai-nilai dari suatu fungsi probabilitas adalah angka-angka yang berada dalam interval antara 0 dan 1 sehingga 0  p(x)  1 2 Jumlah seluruh nilai fungsi probabilitas adalah 1 sehingga

Contoh 1 : Percobaanmelantunkansatumatauangtiga kali. Ruangsampel S = {MMM, MMB, MBM , BMM , BMB, BBM, MBB, BBB }. • Apabiladiinginkanuntukmenelitibanyak ' muka ' yang munculpadatiaptitiksampelmakahasilnumerik 0, 1, 2 atau 3 akandikaitkandengantitiksampel. • MisalkanX(s) = banyakmukadalams dengansS. Fungsi X : S  R denganX(s) = x . Bilangan 0, 1, 2 dan 3 merupakanpengamatan yang mungkin.

Tabel berikut ini menyatakan probabilitas mendapatkan X "muka”. • Tabel tersebut juga dinamakan fungsi probabilitas dari variabel acak X

Tabel fungsi probabilitas

Fungsi distribusi kumulatif (cumulative distribution function /distribution function) didefinisikan sebagai • Hal itu berarti bahwa fungsi distribusi kumulatif adalah jumlah dari seluruh nilai fungsi probabilitas untuk nilai X sama atau kurang dari x • Fungsi distribusi dari Contoh 1 dapat dinyatakan sebagai :

Ukuran-ukuran statistik deskriptif untuk suatu distribusi probabilitas diskrit  dapat ditentukan dengan prinsip-prinsip yang telah dijelaskan pada bab 2 • Ukuran yang merupakan ukuran pemusatan dan ukuran penyebaran yang paling banyak digunakan : • Mean dari distribusi : • Variansi dari distribusi :

Berdasarkan contoh 1 diperoleh mean dari distribusi adalah 

dan variansi dari distribusi adalah

Secarateoritis, kurvadistribusiprobabilitaspopulasidiwakilioleh polygon frekuensirelatif yang dimuluskan fungsikepadatanprobabilitas (probability density function – pdf) f(x)  • Luasdaerahdibawahkurva yang dibatasiolehsumbu-xantaragarisx = adanx = bmenyatakanbahwaprobabilitasbahwaXterletakantarax = adanx = byaitu

Agar sebuahfungsidapatmenjadisebuahfungsikepadatanprobabilitasdarisuatuvariabelacakkontinu : 1Fungsikepadatanprobabilitasf(x)  0  2Luas total daerahdibawahkurvaf(x) adalah 1 yaitu • JikaXvariabelacakkontinumakaberlaku

Contoh 2 : Dalam suatu proses produksi obat-obatan, suatu bahan kimia harus dipanaskan dalam oven terlebih dahulu sebelum dapat diproses selanjutnya Oven dapat dipergunakan setiap selang waktu 5 menit Karena variasi waktu dalam persiapannya, bahan kimia tersebut tidak selalu tersedia pada saat yang bersamaan dengan saat oven siap pakai Jadi jika terlambat bahan kimia tersebut harus menunggu sampai waktu oven siap kembali digunakan Jika X variabel acak kontinu yang menyatakan waktu tunggu bahan kimia sampai bisa dipanaskan dalam oven maka himpunan nilai X yang mungkin adalah { 0  x  5 }

SalahsatufungsikepadatanprobabilitasbagiXadalah • Probabilitaswaktutunggubahankimiaselama 1 sampai 3 menitadalah • Probabilitaswaktutunggubahankimiatersebutlebihdari 3,5 menitadalah

Jika variabel acak X mempunyai fungsi kepadatan probabilitas f(x) maka fungsi distribusi kumulatif dari variabel acak X dapat dinyatakan sebagai • Hubungan antara fungsi kepadatan probabilitas dan fungsi distribusi dapat dinyatakan sebagai :

Mean distribusi : • Variansi distribusi : • Contoh 2 (lanjutan) Fungsi distribusi : untuk 0 x 5

Mean distribusi adalah dan variansi distribusinya adalah

Nilai Harapan (Nilai Harapan Matematik) • Nilaiharapan (expected value) ataunilaiharapanmatematikdarivariabelacak X dinyatakansebagaiE(X) didefinisikansebagai jikaXvariabelacakdiskritdannilaitersebutada JikaX variabelacakkontinumakanilaiharapandidefinisikansebagai

Di samping itu juga berlaku sifat :

Contoh 4 • Pemakaian mesin produksi tertentu yang berjalan lancar (tanpa kerusakan) memberikan keuntungan Rp 5 juta, sedangkan jika terdapat gangguan ringan memberikan keuntungan hanya Rp 1 juta • Namun jika gangguannya berat, terjadi kerugian Rp 2 juta • Pengalaman menunjukkan probabilitas mesin berjalan normal adalah 0,6, berjalan dengan gangguan ringan 0,3 sedangkan gangguan berat hanya 0,1 • Harapan keuntungan yang diperoleh dari pemakaian mesin produksi tersebut dapat dihitung sebagai berikut : • Variabel acak diskrit X adalah keuntungan (dalam juta) dengan nilai x1 = 5, x2 = 1 dan x3 = -2 dengan probabilitas masing-masing p(x1) = 0,6, p(x2) = 0,3 dan p(x3) = 0,1

Harapan keuntungannya adalah = 5 (0,6) + 1 (0,3) + (-2) (0,1) = 3,1 • Jadi harapan keuntungan pemakaian mesin produksi tersebut adalah Rp 3,1 juta

Di sampingituvariansidarikeuntungantersebutadalah : = 25 (0,6) + 1 (0,3) + 4 (0,1) = 15,7, sehingga dansimpanganbakunyaadalah

Distribusi Probabilitas